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志第二 历二

吴江诗词网为您提供中国古代经典志第二 历二之新元史，愿为古诗文爱好者提供详实的参考

志第一 历一

△治历本末

自《三统术》以后七十余家，至郭守敬之《授时》，测验愈精，析理愈微，立数俞简信，可谓度越前古者矣。然曰月星辰之高远，而以一人之智力穷之，欲其事事物合，永无差忒，此必不可得之数也。明之《大统》，实本《授时》，至成化以后，交食已往往不验。

皇朝宣城梅文鼎、婺源江水，皆深通数理。其生时《授时》疏舛凡数事：一曰增损岁余、岁差。一岁小余，古强今弱，一由日轮径差，一由最卑动移。《授时》考古，则增岁余而损岁差；推来，则增岁差而损岁余。乃末得其根，而以法迁就之。似密实疏，不足为法。一曰岁实消长。天行盈缩，进退以渐，无骤增、骤减之理。《授时》百年消长一分，是百年之内皆无所差，逾一年则骤增减一分，又积百年则平差一分，逾一年又骤增减一分，无此推算之法。一曰二十四气用恒气。当时高冲与冬至同度，最高与夏至同度，冬至为盈初，夏至为缩初，以为盈缩之常限如此。故以两冬至相距之日，均为二十四气，谓合于天之平分数也。设如五十余年之后，高卑两点各东移一度，则平冬至与定冬至不相值，及其极也，平冬至与定冬至相差两日，犹能以两定冬至相距之日，均为二十四气乎？且其求冬至也，自丙子年立冬后。依每日测景取对冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛已冬至在己末日夜半后六刻。其求岁余也，自宋大明以来得冬至时刻真数者有六，用以相距，各得其时，合用岁余，考验四年相符不差，仍自大明壬寅年距今八百一十九年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，减大明术一十二秒，其二十五分为今律岁余合用之数。以此二事考之，则《授时》当年所定之岁实，已有微差。稽之于史，又多牴牾。夫一岁小余二十四刻二十五分，积之四岁王得九十七刻。丁丑冬至在戊戌日夜半后八刻，则辛巳冬至宜在己未夜半后五刻，不应有六刻也。如以辛巳之六刻为是，则丁丑之冬至宜在九刻，不应为八刻半也。此四年既皆实测所得，则已多半刻矣。而云相符不差，何也？又考大明五年十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分辰初三刻冬至。大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年，以《授时》岁实积之，凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分，以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻，凡二十九万九千一百三十三日九十二刻，较多三十三刻。而云自大明壬寅距今每岁合得此数，何也？又云减大明术一十一秒。考大明术纪法与周天一岁小余二十四刻二十八分一十四秒。《授时》减去三分一十四秒，非一十一秒也。又古时太阳本轮、均轮半径之差，大于今日，则加减均数亦大。而冬至岁实宜更增矣。至元辛巳间高冲约与冬至同度，则岁实尤大，其小余刻下之分约有三十分。而《授时》定为二十五分，宜其自丁丑至于辛巳四年之间，即有年刻之差，而守敬未之觉也。

凡此数事，皆足订《授时》之误。今撮大要著于篇，以备治历者之参考焉。

至《授时》用平方、立方以求盈缩迟疾差，犹开方之旧术，用天元一御弧矢起数于围三径一，亦失之疏。若以弦矢求弧背，前后失均，象限以内差而多，象限以外差而少，此又不能为前人讳者也。

《历经》、《历议》，皆守敬所撰。世祖招李谦为《历议》，润色其书而已，谦不能作也。札马鲁丁之《万年历》，实即明人所用之回回历，《明史》详矣，不具论。

蒙古初无历法。太祖十五年，驻跸撒马尔干城，回鹘人奏五月望月蚀。中书令耶律楚材以《大明历》推之，太阴当亏二分，食甚在子正，乃未尽初更而月已蚀。是年二月、五月朔，微月见于西南。楚材以旧历不验，遂别造《庚午元历》。据《大明历》减周天七十三秒，岁差亦减七十三秒。以中元庚午岁，国兵南伐，天下略定，推上元庚午岁天正十一月壬戌朔子王冬至，为太祖受命之符。又以西域、中原地逾万里，依唐僧一行里差之说，以增损之。东西测侯，不复差式。乃表上于行在曰：“汉、唐以来，经元创法不啻百家，其气候之早晏，朔望之疾徐，二曜之盈衰，五星之起伏，疏密无定，先后不同。盖都邑之各殊，或历年之渐远，不得不差也。唐历八徒，宋历九更，金《大明历》百年才经一改。此去中原万里，以昔程今，昔密今疏，东微西著。今二月、五月朔，微月见于西南，较之于历，悉为先天。”自汉、唐以来历算之书备矣。俱无此说。是年正月、四月虽皆为小尽，然亦未有朔日见月者也。是时，太祖方用兵西域，其书不果颁用。

楚材尝言，西域历五星密于中国，又作《麻荅历》，今不传。楚材父履在金末作《乙未元历》，楚才益本其文之书，更名为《庚午元历》云。

至世祖至元四年，西域人札马鲁丁用回回法撰《万年历》，帝稍采用之。其法为默特纳国王马哈麻所造历，元起西域阿刺必年，即随开皇己未，不置闰月，以三百六十五日为一岁。岁十二宫，宫有闰日，凡百二十八年宫闰三十一日，以三百五十四日为一周，周十二月，月有闰日，凡三十年月闰十一日。历千九百四十一年，宫月日辰再会。此其立法之大概也。

十三年，世祖平宋，诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、工部郎中郭守敬，立局改治新历。先是，太保刘秉忠以《大明历》辽、金承用岁久，浸以后天，议修正之。已而秉忠卒，事遂寝。至是，世祖思用其言，遂命询与守敬率南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨源、王素、岳铉、高敬等，分掌测验、推步，以衡能推明历理，俾参预之。

守敬首言：“历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。今司天浑仪，宋皇佑中汴京所造，不与此处天度相符，比量南北二极，约差四度。表百年深，亦复欹侧不可用。”乃尽考其失，而移置之。既又别图爽垲，以木为重棚，创作简仪、高表，用相比覆。又以为天枢附极而动，昔人尝展管望之，末得其的，作候极仪。极辰既位，天体斯正，作浑天象。象虽形似，莫适所用，作玲珑仪。以表之测天之正圆，莫若以圆求圆，作仰仪。古有经纬，结而不动，守敬则易之，作立运仪。日有中道，月有九行，守敬则一之，作证理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，察景则难，作窥几。历法之验，在于交会，作日月食仪。天有赤道，轮以当之，两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。以上凡十三等。又作正方案、九表、悬正仪、座正仪，凡四等，为四方行测者所用。又作仰规、覆矩图、异方、浑盖图、日出入永短图，凡五等，与上诸仪互相参考。

十六年，改局为太史院，以赞善王恂为太史令，守敬为同知太史院事，给印章，立官府。是年，奏进仪表式样，守敬对御指陈理致，一一周悉。自朝至于日晏，上不为倦。

守敬奏：唐一行开元间令天下测景，书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大，苦不远方测验，日月交食分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰去天高下不同；可先南北立表，取直测景。上可其奏。遂设监候官一十四员，分道相继而出。

先测得：南海：北极出地一十五度。夏至景在表南长一尺一寸六分，昼五十四刻，夜四十六刻。衡岳：北极出地二十五度。夏至日在表端无景，昼五十六刻，夜四十四刻。岳台：北极出地三十五度，夏至景长一尺四寸八分，昼六十刻，夜四十刻。和林：北极出地四十五度，夏至景长三尺二寸四分，昼六十四刻，夜三十六刻。铁勒：北极出地五十五度，夏至景长五尺一分，昼七十刻，夜三十刻。北海：北极出地六十五度，二至景长六尺七寸八分，昼八十二刻，夜一十八刻。继又测得：上都：北极出地四十三度少。大部：北极出地四十二度强，夏至晷景长一丈二尺三寸六分，昼六十二刻，夜三十二刻。益部：北极出地三十七度少。登州：北极出地三十八度少。高丽：北极出地三十八度少。西京：北极出地四十度少。太原：北极出地三十八度少。安西府：北极出地三十四度半强。兴元：北极出地三十三度半强。成都：北极出地三十一度半强。西凉州：北极出地四十度强。东平：北极出地三十五度太强。大名：北极出地三十六度。南京：北极出地三十四度太强。阳城：北极出地三十四度太。扬州：北极出地三十三度。鄂州：北极出地三十一度半。吉州：北极出地二十六度半。雷州：北极出地二十度太。琼州：北极出地十九度太。

十七年，新历告成。守敬上奏曰：

臣等窃闻帝王之事，莫重于历。自黄帝迎日推策，帝尧以闰月定四时成岁，舜在璇玑玉衡以齐七政。爰及三代，历无定法，周秦之间，闰余乖次。西汉造《三统历》，百三十年而后是非始定。东汉造《四分历》，七十余年而仪式备。叉百二十一年，刘洪造《乾象历》，始悟月行有迟速。又百八十年，姜岌造《三纪甲子历》，始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉历》，始悟以朔望及弦定大小余。又六十五年，祖冲之造《大明历》，始悟太阳有岁差之数，极星去不动处一度余。又五十二年，张子信始悟日月交道有表里，五星有迟疾留逆。又三十三年，刘焯造《皇极历》，始悟日行有盈缩。又三十五年，傅仁均造《戊寅元历》，颇采旧仪，始用定朔。又四十六年，李淳风造《麟德历》，以古历章?元首分度不齐，始为总法，用迸朔以避晦晨月见。又六十三年，僧一行造《大衍历》，始以朔有四大三小，定九服交食之异。又九十四年，徐昂造《宣明历》，始悟日食有气刻时三差。又二百三十六年，姚舜辅造《纪元历》，始悟食甚泛余差数。以上计千一百八十二年，历经七十，改其创法者十有三家。

自是又百七十四年，钦惟圣朝统一六合，肇造区夏，专命臣等改治新历。臣等用创造简仪、高表，凭其测到实数所考正者凡七事：一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日测到晷景，逐日取对，冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戌日夜半后八刻半。又定丁丑夏至，得在庚子日夜半后七十刻。又定戊寅冬至，在癸卯日夜半后三十三刻；己卯冬至、在戊申日夜半后五十七刻半；庚辰冬至，在癸丑日夜半后八十一刻半。各减大明历十八刻，远近阳符，前后应准。二曰岁余。自刘宋《大明历》以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，用以阳距，各得其时合用岁余。今考验四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分。其二十五分为今历岁余合用之数。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道箕九度有畸。仍凭每日测到太阳躔度，或凭星测月，或凭月测日，或径凭星度测日，立术推算。起自丁丑正月，至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，与月食相符。四曰月离。自丁丑以来至今，凭每日测得逐时太阴行度推算变，从黄道求入转极疾并平行处，前后凡十三转。计五十一事，内除去不真的外，有三十事。得大明历入转后天，又因考验交食加大明历三十刻，与天道合。五曰入交。自丁丑五月以来，凭每日测到太阴去极度数，比拟黄道去极度，得月道交于黄道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分得入时刻，与大明所差不多。六曰二十八宿距度。自汉代初历以来，距度不同，互有损益。大明历则于度下余分附以太半少，皆私意牵就，未尝实测其数，今新仪皆细刻周天度分，每度为三十六分，以距线代管窥宿度余分，并依实测，不以私意牵就。七曰日出入昼夜刻。《大明历》日出入昼夜刻，皆据汁京为准，其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下、黄道出入内外度，立术推求每日日出入昼夜刻，得夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻，冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻；永为定式。

所创法凡五事：一曰太阳盈缩。用四正定气立为升降艰，立招差求得每日行分初末极差积度，比古为密。二曰月行迟疾。古历皆用二十八限，今以万分日之八百二十分为一限，凡析为三百三十六限，依垛叠招差，求得转分进退，其迟疾度数逐时不用，盖前所未有。三曰黄赤道差。旧法以一百一度相减相乘。今依算术勾股弧矢方圆斜直所容，求到度率积差差率，与天道实为吻合。四曰黄赤道内外度。据累年实测内外极度二十三度九十分，以圆容方直矢接勾股为法求每日去极，与所测相符。五曰白道交周。旧法黄道变推白道，以斜求斜。今用立浑比量，得用与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分，拟以为法。推逐月每交二十八宿度分，于理为尽。

诏赐名曰授时历。十八年，颁新历于天下。

十九年，守敬以推步之式与立成之数皆无定稿，乃著《推步》七卷、《立成》二卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷，表上之。二十年，又诏太子谕德李谦就守敬之《历议稿》重加修订，以阐新历顺天求合之理。

大德三年八月朔，时加巳依新历日食二分有奇，至其时不应，台官皆惧。保章正齐履谦曰：“日当食不食，古有之。况时近午，阳盛阴微，宜当食不食。”遂考唐开元以来当食不食者凡十事以闻。六年六月朔，时加戌依新历日食五十七秒，众以涉交既浅，且近浊，欲匿不报。履谦曰：“吾所掌者常数也。其食与否，则系于天。”独以状闻。及其时，果食。盖高远难穷之事，必积时累验，乃见端倪。《授时历》推日食之法，较前之十三家最密矣，然尚不能无数刻之差。故元之一代，日食四十有五，推食而不食者一，食而失推者一，夜食而误昼者一。履谦谓：食与否系于天，足犹泥前人当食不食，不当食而食之谬说，诬莫甚矣。

泰定间，履谦为太史院使，以《授时历》行五十年未尝推考，乃日测晷景并晨昏五星宿度，自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加时真数，各减见行历书二刻，撰《二至晷景考》二卷。《授时》虽有经串，而经以著定法，串以纪成数；求共法之所以然，数之所从出，则略而不详；作《经串演说》八卷，以发明其蕴焉。

时鄱阳人赵友钦推演《授时》之理，著《革象新书》五卷，号为新历之学。

其《历法改革篇》曰：“历法由古及今，六十余术矣。汉太初粗为可取，然犹疏略未密。唐一行作大衍术，当时以为密矣，以今观之，犹自甚疏。盖岁浅则差少未觉，久而积差渐多，不容不改，要当随时测验，以求真数。

其《日道岁差篇》曰：“统天术谓周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周岁三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半，然又谓周岁渐渐不同，上古岁策多，后世岁策少，如此则上古岁差少，后世岁差多。当今术法謜之，立减加岁策之法，上考往古，百年加一秒，下验将来，百年减一秒。”

其《黄道损益篇》曰：“二至之日，黄道平其度，敛狭每度约得十之九二分，斜行赤道之交。今之授时术步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度数最少，己亥度数最多，其余则多寡稍近。

其《积年日法篇》曰：“前代造术者，逆求往古门上元，求其积年总会，是以必立日法。然有所谓截元术，但将推步定数为顺算逆考，不求其齐。当今授时术采旧术截元之术，凡积年日法皆所不取。

其《日月盈缩筒》曰：“月行十三度余十九之七，然或先期，或后期，有差至四五度者，后汉刘洪始考究之，知月有盈缩。隋之刘焯始觉太阳亦有盈缩，最多之时在于春秋二分，均差两度有余。李淳风有推步月孛法，谓六十二日行七度，六十二年七周天。所谓孛者，乃彗星之一种光芒，偏槊者则谓之彗，光芒四出如浑圆者乃谓之孛。然孛以月为名者，孛之所在，太阴所行最迟，太阴在孛星对冲处则所行最疾。孛星不常见，止以太阴所行最迟处测之。

其《月有九道篇》曰：“月行出入黄道之内外，远于黄道处六度二分。月道与黄道相交处在二交之始，名曰罗喉，交之中，名曰计都。自交初至于交中，月在黄道外，名曰阳限。自交中至于交出，月在黄道内，名曰阴限。所谓九行者，当以画图比之。四图各两黄道，似一圆环，俱于环南定为夏至。环北定为冬至，环西定为春分，环东定为秋分。将一图画为青追，与黄道交于南北，南交为罗，北交为计。其青道二边入在黄道西之东，是内青道；一边出在黄道东之东，是外青道。又将一图画白道，亦与黄道交于南北，南交为计，北交为罗。其白道一边入在黄道东之西，是内白道；一边出在黄道西之西，是外白道。又将一图画朱道，与黄道交于东西，东交为计，西交为罗。其朱道一边入黄道之南，是内朱道，一边出在黄道南之南，是外朱道。又将一图画黑道，亦与黄道交于东西，东交为罗，西交为计。其黑道一边入在黄道南之北，是内黑道；一边出在黄道北之北，是外黑道。此虽画四图，然四图之八道止是一道也。本八道而曰九行者，以北道之行，交于黄道，故道以九言也。八道常变易，不可置于浑仪上，亦不得画于星图。所可具者黄、赤二道耳。欲别于黄，故涂以赤。赤道近八道皆相交远近。朱道止十八度远，黑道至三十度远，青白二道约二十四度远。”

其《地域远近篇》曰：“古者立八尺之表，以验四时日景。地中夏至，景在表北一尺六寸，冬至，景在表北一丈三尺。南至交广，北至铁勒等处验之，俱各不同。表高八尺，似失之短。至元以来，表长四丈，诚万古之定法也。所谓土圭者，自古有之。然地上天多早晚，太阳与人相近，则景移必疾；日午与人相远，则景移必迟。世间土圭均画而已，岂免午侵己未，而早晚时刻俱差。地中差已如是，若以八方偏地验之，土圭之不可准尤为显。然偏东者，早景疾，而晚景迟，午景先至；偏西者，早景迟，而晚景疾，午景后期；偏北者，少其画，而景迟；偏南者，多其画，而景疾。若南越短，景南指，而子午反复，则又讹逆甚矣。”其《日月薄食篇》曰：“日之圆，体大，月之圆，体小。日道之周围亦大，月道之周围亦小。日道距天较近，月道距天较远。日月之体与所行之道，虽有少广之差，然月与人相近，日与人相远。故月体因近视而可比日道之广，日食、月食当以天度经纬而推。同经不同纬，止曰合朔。同经同纬合朔，而有食矣。人望日体，见为月之黑体所障，故云日食。然日体未尝有损，所谓食者，强名而已。日月对躔，而望若不当二交前后，则不食。望在二交前后，则必食。或既或不既，当以距交远近而推。日月之圆径相倍。日径一度，月径止得日径之半，然在于近视，亦准一度。是犹省秤出于复秤，斤两虽同，其实则有轻重之异。日之圆径倍于月，则暗虚之圆径亦倍于月。月既准一度，则暗虚广二度矣。月食分数止以距交近远而论，别无四时加试。八方所见食分并同。日食则不然，旧历云：假令中国食既戴，日之下所亏才半，化外反观，则交而不食。何以言之？日月如大小二球，共悬一索。日上、月下，相去稍远，人在其下正望之，黑球遮尽赤球，比若食既。若傍视，则分远近之差，即食数有多寡也。”

其《五纬距合篇》曰：“古者止知五纬距度，未知有变数之加减。北齐张子信仰观岁久，始知五纬又有盈缩之变，当加减常数以求其逐日之躔。所以然者，盖五纬不由黄道，亦不由月之九道。乃出入黄道内外，各自有其道。视太阳远近而迟疾者，如足力之勤倦又有变数之加减者。比如道里之径直斜曲。其《勾股测天篇》曰：“古人测景，千里一寸之差，犹未亲切。今别定表之制度，并述元有算法。就地中各去南北数百里，仍不偏于东西，俱立一表，约高四丈。于表首下数寸作一方窍，外广而内狭，当中薄如连边，两旁如侧置漏底之碗，形圆而窍方。以南北表景之数相减余，名景差。两表相距里路，各乘南北表景，各如景差而一即得。二表各与戴日之地相距数日，平远各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一即得。日轮顶与戴日地相距数，以南北表景各加平远所得自乘，名勾幂。日高自乘，名股幂。两幂相并，名弦幂。开为平方，名曰日远。乃南北表窍之景距日斜远也。

其《乾象周髀篇》曰：“古人谓圆径一尺，周围三尺。后世考究则不然。圆一而周三，则尚有余；围三而径一，则为不足。盖围三径一，是六角之用也。或谓圆径一尺，周围三尺一寸四分；或谓圆径七尺，周围二十二尺；或谓圆径一百一十三，周围三百五十五。径一而周三一四，犹自径多围少；径七而周二十二，却是径少周多；径一百一十三，周三百五十五，最为精密。其考究之术，两百眼茶盘一，眼广一寸，方图之内，画为圆图，径十寸，圆内又画小方图。小方以算术展为圆象，自四角之方，添为八角曲圆为第一次。若第二次，则为曲十六。第三次为，则曲三十二。第四次则为曲六十四。凡多一交，其曲必倍。至十二次，则其为曲一万六千三百八十四。其初之小方，渐加渐展，渐满渐实，角放愈多，而其为方者不复方，而变为圆矣。今先以第一次言之，内方之弦十寸，名大弦，自乘得一百寸，名大弦幂，内方之勾幂五十寸，名第一次大勾幂。以第一次大勾幂，减其大弦幂，余五十寸，名大股幂，开方得七寸七厘一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股减其大弦，余二寸九分二厘八毫有奇，名第一较，折半得一寸四分六厘四毫有奇，名第一次小勾。此小勾之数。乃内方之四边与圆围最相远处也。以第一次小勾自乘，得二寸一分四厘四毫有奇，名第一次小勾幂。以第一次大勾幂，折半得二十五寸。又折半得十二寸五分，名第一次小股幂，并第一次小勾幂，得一十四寸六分四百四毫有奇，名第一次小弦幂，开方得三寸八分二厘六毫有奇，名第一次小弦，即是八曲之一。八乘第一次小弦，行三十寸六分一厘有奇，即是八曲之周围也。此以小数求之，不若改为大数，将大弦改为一千寸，然后依法而求。若求第二次者，以第一次小弦幂，就名第二次大勾幂。以第一次大股幂减其大弦幂余，为第二次大股幂。开方为第二次大股，以减其大弦余为第二较，折半名二次小勾。此小勾之数，即是八曲之边，与圆围最相远处也。以第二次小勾自乘，名第二次小勾幂。以第二次大勾幂两折，名第二次小股幂。以第二次小股幂并第二次小勾幂，名第二次小弦幂，开方为第二次小弦，即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周围也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦递次相仿。置第十二次之小弦，以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也。以一百一十三乘之，果得三百五十五。故言其法精密。要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。

友钦阐明历理，于授时术尤为深得，传其学于龙游人朱晖。有元一代，不为历官，而知历者，友钦一人而已。

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志第三 历三

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志第三 历三 △授时历经上步气朔第一至元十八年岁次辛巳为元。上考往古，下验将来，皆距立元为算。周岁消长，百年各一。其诸应等数，随时推测，不用为元。日周，一万。岁实，,

志第五 历五-新元史

志第五 历五 △授时历议上验气天道运行，如环无端，治历者必就阴消阳息之际，以为立法之始。阴阳消息之机。何从而见之？惟候其日晷进退，则其机将无所遁。候之之法，不过植表

志第三 历三

△授时历经上步气朔第一至元十八年岁次辛巳为元。上考往古，下验将来，皆距立元为算。周岁消长，百年各一。其诸应等数，随时推测，不用为元。日周，一万。岁实，三百六十五万二千四百二十五分。通余，五万二千四百二十五分。朔实，二十九万五千三百五分九十三秒。通闰，十万八千七百五十三分八十四秒。岁周，三百六十五日二千四百二十五分。朔策，二十九日五千三百五分九十三秒。气策，十五日二千一百八十四分三十七秒半。望策，十四日七千六百五十二分九十六秒半。弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。气应，五十五万○六百分。闰应，二十万一千八百五十分。按《授时历》闰转交三应，后有改定之数。闰应，二十万一千八百五十分，明《大统历法通轨》作二十万二千五十分，实加二百分；是当时经朔改早二刻也。转应，一十三万一千九百四分，《通轨》作一十三万二百五分，实减一千六百九十九分，是入转改迟一十七刻弱也。交应，二十六万一百八十七分八十六秒，《通轨》作二十六万三百八十八分，实加二百分一十四秒，是正交改早二刻强也。梅文鼎谓《通轨》所述者乃《授时历》续定之数，而《历经》所存，则其未定之初稿是也。没限，七千八百一十五分六十二秒半。气盈，二千一百八十四分三十七秒半。朔虚，四千六百九十四分七秒。旬周，六十万。纪法，六十。推天正冬至置所求距算，以岁实上推往古，每百年长一。下算将求，每百年消一。乘之，为中积。加气应，为通积。满旬周，去之；不尽，以日周约之为日，不满为分。其日命甲子算外，即所求天王冬至日辰及分。如上考者，以气应减中积，满旬周，去之；不尽，以减旬周。余同上。求次气置天正冬至日分，以气策累加之，其日满纪法，去之，外命如前，各得次气日辰及分秒。推天正经朔置中积，加闰应，为闰积。满朔实，去之，不昼为闰余，以减通积，为朔积。满旬周，去之，不尽，以日周约之，为日，不满为分，即所求天正经朔日及分秒。上考者，以闰应减中积，满朔实，去之不尽，以减朔实，为闰余。以日周约之为日，不满为分，以减冬至日及分，不及减者，加纪法减之，命如上。求弦望及次朔置天正经朔日及分秒，以弦策累加之，其日满纪法，去之，各得弦望及次朔日及分秒。推没日置有没之气分秒，如没限已上为有没之气。以十五乘之，用减气策，余满气盈而一，为日，并恒气日，命为没日。推灭日置有灭之朔分秒，在朔虚分已下为有灭之朔。以三十乘之，满朔虚而一，为日，并经朔日，命为灭日。步发敛第二土王策，三日四百三十六分八十七秒半。月闰，九千六十二分八十二秒。辰法，一万。半辰法，五千。刻法，一千二百。推五行用事各以四立之节，为春木、夏火、秋金、冬水首用事日。以土王策减四季中气，各得其季土始用事日。气候正月立春，正月节。东风解冻，蛰虫始振，鱼陟负冰。雨水，正月中。獭祭鱼，候雁北，草木萌动。二月惊蛰，二月节。桃始华，仓庚鸣，鹰化为鸠。春分，二月中。玄鸟至，雷乃发声，始电。三月清明，三月节。桐始华，田鼠化为鴽，虹始见。谷雨，三月中。萍始生，鸣鸠拂其羽，戴胜降于桑。四月立夏，四月节。蝼蝈呜，蚯蚓出，王瓜生。小满，四月中苦菜秀，靡草死，麦秋至。五月芒种，五月节。螳螂生，贝鸟始鸣，反舌无声。夏至，五月中。鹿角解，蜩始鸣，半夏生。六月小暑，六月节。温风至，蟋蟀居壁，鹰始挚。大暑，六月中。腐草为萤，土润溽暑，大雨时行。七月立秋，七月节。凉风至，白露降，寒蝉呜。处暑，七月中。鹰乃祭鸟，天地始肃，禾乃登。八月白露，八月节。鸿雁来，立鸟归，群鸟养羞。秋分，八月中。雷始收声，蛰虫坏户，水始涸。九月寒露，九月节。鸿雁来宾，雀入大水为蛤，菊有黄华。霜降，九月中。豺乃祭兽，草木黄落，蛰虫咸俯。十月立冬，十月节。水始冰，地始冻，雉入大水为蜃。小雪，十月中。虹藏不见，天气上升，地气下降，闭塞而成冬。十一月大雪，十一月节。鹖旦鸟不鸣，虎始交，荔挺出。冬至，十一月中。蚯蚓结，麋角解，水泉动。十二月小寒，十二月节。雁北乡，鹊始巢，雉句雅。大寒，十二月中。鸡乳，征鸟厉疾，水泽腹坚。推中气去经朔置天正闰余，以曰周约之，为日，命之，得冬至去经朔。以月闰累加之，各得中气去经朔日算。满朔策，去之，乃全置闰，然俟定朔无中气者裁之。推发敛加时置所求分秒，以十二乘之，满辰法而一，为辰数。余以刻法收之，为刻。命子正算外，即所在辰刻。如满半辰法，通作一作辰，命起子初。步日躔第三周天分，三百六十五万二千五百七十五分。周天，三百六十五度二十五分七十五秒。半周天，一百八十二度六十二分八十七秒半。象限，九十一度三十一分四十三秒太。岁差，一分五十秒。周应，三百一十五万一千七十五分。半岁周，一百八十二日六千二百一十二分半。盈初缩末限，八十八日九千九十二分少。缩初盈末限，九十三日七千一百二十分少。推天正经朔弦望入盈缩历置半岁周，以闰余日及分减之，即得天正经朔入盈缩历。冬至后盈，夏至后缩。以弦策累加之，各得弦望及次朔入盈缩历日及分秒。满半岁周去之，即交盈缩。求盈缩差视入限盈者，在盈初缩末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限；缩者，在缩初盈末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限。其盈初缩末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二万四千六百，又以初末限乘之，用减定差五百一十三万三千二百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒。缩初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二万二千一百，又以初末限乘之，用减定差四百八十七万六百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退限为分秒，即所求盈缩差。又术：置入限分，以其日盈缩分乘之，万约为分，加其下盈缩积，万约为度，不满为分秒，亦得所求盈缩差。赤过宿度角十二一十亢九二十氐十六三十房五六十心六五十尾十九一十箕十四十右东方七宿，七十九度二十分。斗二十五二十牛七二十女十一三十五虚八九十五太危十五四十室十七一十壁八六十右北方七宿，九十三度八十分太。奎十六六十娄十一八十胃十五六昴十一三十毕十七四十觜初五参十一一十右西方七宿，八十三度八十五分。井三十三三十鬼二二十柳十三三十星六三十张十七二十五翼十八七十五轸十七三十右南方七宿，一百八度四十分。右赤道宿次，并依新制浑仪测定，用为常数，校天为密。若考往古，即用当时宿度为准。推冬至赤道日度。置中积，以加周应为通积，满周天分，上推往古，每百年消一。下算将来，每百年长一。去之，不尽，以日周约之为度；不满，退约为分秒。命起赤道虚宿六度外，去之，至不满宿。即所求天正冬至加时日躔赤道宿度及分秒。上考者，以周应减中积，满周天，去之，不尽，以减周天，余以日周之为度；余同上。如当时有宿度，止依当时宿度命之。求四正赤道日度置天正冬至加时赤道日度，累加象限，满赤道宿次，去之，各得春夏秋正日所在宿度及分秒。求四正赤道宿积度置四正赤道宿全度，以四正赤道日度及分减之，余为距后度。以赤道宿度累加之，各得四正后赤道宿积度及分。黄赤道率推黄道宿度推黄道宿度置四正后赤道宿积度，以其赤道积度减之，余以黄道率乘之，如赤道率而一。所得，以加黄道积度，为二十八宿黄道积度。以前宿黄道积度减之，为其宿黄道度及分。其秒就近为分。黄道宿度角十二八十七亢九五十九氐十六四十房五四十八心六二十七尾十七九十五箕九五十九右东方七宿，七十八度一十二分。斗二十三四十七牛六九十女十一一十二虚九分空太危十五九十五室十八三十二壁九三十四右北方七宿，七十四度一十分太。奎十七八十七娄十二三十六胃十五八十一昴十一○八毕十五六十觜初○五参十二十八右西方七宿，八十三度九十五分。井三十一○三鬼二一十一柳十三星六三十一张十七七十九翼二十○九轸十八七十五右南方七宿，一百九度八分右黄道宿度，依今历所汉赤道准冬至岁差所在算定，以凭推步。若上下考验，据岁差每移一度，依术推变，各得当时宿度。推冬至加时黄道日度置天正冬至加时赤道日度，以其赤道积度减之，余以黄道卒乘之，如赤道率而一。所得，以加黄道积度，即所求年天正冬至加时黄道日度及分秒。求四正加时黄道日度置所求年冬至日躔黄赤道差，与次年黄赤道差相减，余四而一，所得，加象限，为四正定象度。置冬至加时黄道日度，以四正定象度累加之，满黄道宿次，去之，各得四正定气加时黄道宿度及分。求四正晨前讹夜半日度置四正恒气日及分秒，冬夏二至，盈缩之端，以恒为宿。以盈缩差命为日分，盈减朔加之，即为四正定气日及分。置日下分，以其日行度乘之，如日周而一。所得，以减四正加时黄道日度，各得四正定晨前夜半日度及分秒。求四正后每日晨前夜半黄道日度以四正定气日距后正定气日为相距日，以四正定气晨前夜半日度距后正定气晨前夜半日度为相距度，累计相距日之行定度。与相距度相减，余如相距日而一，为日差。相距度多为加，相距度少为减。以加减四正每日行度率，为每日行定度。累加四正晨前夜半黄道日度，满宿次，去之，为每日晨前夜半黄道日度及分秒。求每日午中黄道日度置其日行定度，半之，以加其日晨前夜半黄道日度，得午中黄道日度及分秒。求每日午中黄道积度以二至加时黄道日度距所求日午中黄道日度，为二至后黄道积度及分秒。求每日午中赤道日度置所求日午中黄道积度，满象限，去之，余为分后。内减黄道积度，以赤道率乘之，如黄道率而一。所得，以加赤道积度及所去象限，为所求赤道积度及分秒。以二至赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度及分秒。黄道十二次宿度危，十二度六十四分九十一秒。入娶訾之次，辰在亥。奎，一度七十三分六十三秒。入降娄之次，辰在戌。胃，三度七十四分五十六秒。入大梁之次，辰在酉。毕，六度八十八分五秒。入实沈之次，辰在申。井，八度三十四分九十四秒。入鹑首之次，辰在未。柳，三度八十六分八十秒。入鹑火之次，辰在午。张，十五度三十六分六秒。入鹑尾之次，辰在巳。轸，十度七分九十七秒。入寿星之次，辰在辰。氐，一度一十四分五十二秒。入大火之次，辰在卯。尾，三度一分一十五秒。入析木之次，辰在寅。斗，二度七十六分八十五秒。入星纪之次，辰在丑。女，二度六分三十八秒。入玄枵之次，辰在子。求入十二次时刻各置入次宿度及分秒，以其日晨前夜半日度减之，余以日周乘之，为实。以其日行定度为法，实加法而一，所得，依发敛加时求之，即入次时刻。步月离第四转终分，二十七万五千五百四十六分。转终，二十七日五千五百四十六分。转中，十三日七千七百七十三分。初限，八十四。中限，一百六十八。周限，三百三十六。月平行，十三度三十六分八十七秒半。转差，一日九千七百五十九分九十三秒。弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。上弦，九十一度三十一分四十三秒太。望，一百八十二度六十二分八十七秒半。下弦，二百七十三度九十四分三十一秒少。转应，一十三万一千九百四分。推天正经朔入转置中积，加转应，减闰余。满转终分，去之，不尽，以日周约之为日，不满为分，即天正经朔入转日及分。上考者，中积内加所求闰余，减转应，满转终，去之，不尽，以减转终，余同上。求弦塑及次朔入转置天正经朔入转日及分，以弦策累加之，满转终，去之，即弦望及次朔入转日及分秒。如径求次朔，以转差加之。求经朔弦望入迟疾历各视入转日及分秒。在转中已下，为疾历。已上，减去转中，为迟历。迟疾转定及积度求迟疾差置迟疾历日及分，以十二限二十分乘之，在初限已下为初限，已上覆减中限，余为末限。置立差三百二十五，以初末限乘之，加平差二万八千一百，又以初末限乘之，用减定差一千一百一十一万，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即迟疾差。又术：置迟疾历日及分，以迟疾历日率减之，余以其下损益分乘之。如八百二十而一，益加损减其下迟疾度，亦为所求迟疾差求朔弦望定日以经缩弦望盈缩差与迟疾差，同名相从，异名相消，盈迟缩疾为同名，盈疾缩迟为异名。以八百二十乘之，以所入迟疾限下行度除之，即为加减差，盈迟为加，缩疾为减。以加减经朔弦望日及分，即定朔弦塑日及分。若定弦望分在日出分已下者，退一日，其日命甲子算外，各得定朔弦望日辰。定朔干名与后朔干同者，其月大。不同者，其月小。内无中气者，为闰月。推定朔弦望加时日月宿度置经朔弦望入盈缩历日及分，以加减差加减之，为定朔弦望入历，在盈，便为中积，在缩，加半岁周，为中积。命日为度，以盈缩差盈加缩减之，为加时定积度。以冬至加时日躔黄道缩度加而命之，各得定朔弦望加时日度。凡合朔加时，日月同度，便为定朔加时月度。其弦望各以弦望度加定积，为定弦望月行定积度。依上加而命之，各得定弦望加时黄道月度。推定朔弦望加时赤道月度各置定朔弦望加时黄道月行定积度，满象限，去之，以其黄道积度减之，余以赤道率乘之，如黄道率而一，用加其下赤道积度及所去象限，各为赤道加时定积度。以冬至加时赤道日度加而命之，各为定朔弦望加时赤道月度及分秒。象限以下及半周，去之，为至后。满象限以及三象，去之，为分后。推朔后平交入转迟疾历置交终日及分，内减经朔交日及分，为朔后平交日。以加经朔入转，为朔后平交入转。在转中已下，为疾历。已上，去之，为迟历。求正交日辰置经朔，加朔后平交日，以迟疾历依前求到迟疾差，迟加疾减之，为正交日及分，其日命甲子算外，即王交日辰。推正交加时黄道月度置朔后平交日，以月平行度乘之，为距后度。以加经朔中积，为冬至距正交定积度。以冬至日躔黄道宿度加而命之，为正交加时月离黄道宿度及分秒。求正交在二至后初末限置冬至距正交积度及分，在半岁周已下，为冬至后。已上，去之，为夏至后。其二至后，在象限已下，为初限。已上，减去半岁周，为末限。求定差距差定限度置初末限度，以十四度六十六分乘之，如象限而一，为定差。反减十四度六十六分，余为距差。以二十四乘定差，如十四度六十六分而一。所得，交在冬至后名减，夏至后名加，皆加减九十八度，为定限度及分秒。求四正赤道宿度置冬至加时赤道度，命为冬至正度。以象限累加之，各得春分、夏至、秋分正积度。各命赤道宿次去之，为四正赤道宿度及分秒。求月离赤道正交宿度以距差加减春秋二正赤道宿度，为月离赤道正交宿度及分秒。冬至后，初限加，末限减，视春正。夏至后，初限减，末限加，视秋正。求正交后赤道宿积度入初末限各置春秋三正赤道所当宿全度及分，以月离赤道五交宿度及分减之，余为正交后积度。以赤道宿次累加之，满象限去之，为半交后。又去之，为中交后。再去之，为半交后。视各交积度在半象已下，为初限。已上，用减象限，余为末限。求月离赤道正交后半交日道旧名九道。出入赤道内外度及定差置各交定差度及分，以二十五乘之，如六十一而一。所得，视月离设道下交在冬至后宿度为减，夏至后宿度为加，皆加减二十三度九十分。为月离赤道后半交白道出入赤道内外度及分。以周天六之一，六十度八十七分六十二秒半，除之，为定差。月离赤道正交后为外，中交后为内。求月离出入赤道内外白过去极度置每日月离赤道交后初末限，用减象限，余为白道积。用其积度减之，余以其差率乘之，所得，百约之，以加其下积差，为每日积差。用减周天六之一，余以定差乘之，为每日月离赤道内外度。内减外加象限，为每日月离白道去极度及分秒。求每交月离白道积度及宿次置定限度，与初末限相减相乘，退位为分，为定差。正交、中交后为加，半交后为减。以差加减正交后赤道积度，为月离白道定积度。以前宿白道定积度减之，各得月离白道宿次及分。推定朔弦望加时月离白道宿度各以月离赤道正交宿度距所求定期弦望加时月离赤道宿茂，为正交后积度。满象限，去之，为半交后。又去之，为中交后。再去之，为半交后。视交后积度在半象已下，为初限。已上，用减象限，为末限。以初、末限与定限度相减相乘，退位为分，分满百为度，为定差。正交、中交后为加，半交后为减。以差加减月离赤道正交后积度，为定积度。以正交宿度加之，以其所当月离白道宿次去之，各得定朔弦望加时月离白道度及分秒。求定朔望加时及夜半晨昏入转置经朔弦望入转日及分，以定朔弦望加减差加减之，为定朔弦望加时入转。以定朔弦望日下分减之，为夜半入转。以晨分加之，为晨转。昏分加之，为昏转。求夜半月度置定朔弦望日下分，以其入转日转定度乘之，万约为加时转度，以减加时定积度，余为夜半定积度，依前加而命之，各得夜半月离宿度及分秒。求晨昏月度置其日晨昏分，以夜半入转日转定度乘之，万约为晨昏转度。各加夜半定积度。为晨昏定积度。加命如前，各得晨昏月离宿度及分秒。累计相距日数转定度，为转积度，与定朔弦望晨昏宿次前后相距度相减，余以相减日数除之，为日差。距度多为加，距度少为减。以加减每日转定度，以累加定朔弦望晨昏月度，加命，即每日晨昏月离白道宿次。朔后用昏，望后用晨，朔望晨昏俱用。

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志第六 历六-新元史

志第六 历六 △授时历议下交食历法疏密，验在交食，然推步之术难得其密，加时有早晚，食分有浅深，取其密合，不容偶然。推演加时，必本于躔离月兆月肉；考求食分。必本于距交

志第一 历一 △治历本末自《三统术》以后七十余家，至郭守敬之《授时》，测验愈精，析理愈微，立数俞简信，可谓度越前古者矣。然曰月星辰之高远，而以一人之智力穷之，欲其事,

列传第一百三十六 笃行上

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志第一 历一

△治历本末自《三统术》以后七十余家，至郭守敬之《授时》，测验愈精，析理愈微，立数俞简信，可谓度越前古者矣。然曰月星辰之高远，而以一人之智力穷之，欲其事事物合，永无差忒，此必不可得之数也。明之《大统》，实本《授时》，至成化以后，交食已往往不验。皇朝宣城梅文鼎、婺源江水，皆深通数理。其生时《授时》疏舛凡数事：一曰增损岁余、岁差。一岁小余，古强今弱，一由日轮径差，一由最卑动移。《授时》考古，则增岁余而损岁差；推来，则增岁差而损岁余。乃末得其根，而以法迁就之。似密实疏，不足为法。一曰岁实消长。天行盈缩，进退以渐，无骤增、骤减之理。《授时》百年消长一分，是百年之内皆无所差，逾一年则骤增减一分，又积百年则平差一分，逾一年又骤增减一分，无此推算之法。一曰二十四气用恒气。当时高冲与冬至同度，最高与夏至同度，冬至为盈初，夏至为缩初，以为盈缩之常限如此。故以两冬至相距之日，均为二十四气，谓合于天之平分数也。设如五十余年之后，高卑两点各东移一度，则平冬至与定冬至不相值，及其极也，平冬至与定冬至相差两日，犹能以两定冬至相距之日，均为二十四气乎？且其求冬至也，自丙子年立冬后。依每日测景取对冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛已冬至在己末日夜半后六刻。其求岁余也，自宋大明以来得冬至时刻真数者有六，用以相距，各得其时，合用岁余，考验四年相符不差，仍自大明壬寅年距今八百一十九年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，减大明术一十二秒，其二十五分为今律岁余合用之数。以此二事考之，则《授时》当年所定之岁实，已有微差。稽之于史，又多牴牾。夫一岁小余二十四刻二十五分，积之四岁王得九十七刻。丁丑冬至在戊戌日夜半后八刻，则辛巳冬至宜在己未夜半后五刻，不应有六刻也。如以辛巳之六刻为是，则丁丑之冬至宜在九刻，不应为八刻半也。此四年既皆实测所得，则已多半刻矣。而云相符不差，何也？又考大明五年十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分辰初三刻冬至。大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年，以《授时》岁实积之，凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分，以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻，凡二十九万九千一百三十三日九十二刻，较多三十三刻。而云自大明壬寅距今每岁合得此数，何也？又云减大明术一十一秒。考大明术纪法与周天一岁小余二十四刻二十八分一十四秒。《授时》减去三分一十四秒，非一十一秒也。又古时太阳本轮、均轮半径之差，大于今日，则加减均数亦大。而冬至岁实宜更增矣。至元辛巳间高冲约与冬至同度，则岁实尤大，其小余刻下之分约有三十分。而《授时》定为二十五分，宜其自丁丑至于辛巳四年之间，即有年刻之差，而守敬未之觉也。凡此数事，皆足订《授时》之误。今撮大要著于篇，以备治历者之参考焉。至《授时》用平方、立方以求盈缩迟疾差，犹开方之旧术，用天元一御弧矢起数于围三径一，亦失之疏。若以弦矢求弧背，前后失均，象限以内差而多，象限以外差而少，此又不能为前人讳者也。《历经》、《历议》，皆守敬所撰。世祖招李谦为《历议》，润色其书而已，谦不能作也。札马鲁丁之《万年历》，实即明人所用之回回历，《明史》详矣，不具论。蒙古初无历法。太祖十五年，驻跸撒马尔干城，回鹘人奏五月望月蚀。中书令耶律楚材以《大明历》推之，太阴当亏二分，食甚在子正，乃未尽初更而月已蚀。是年二月、五月朔，微月见于西南。楚材以旧历不验，遂别造《庚午元历》。据《大明历》减周天七十三秒，岁差亦减七十三秒。以中元庚午岁，国兵南伐，天下略定，推上元庚午岁天正十一月壬戌朔子王冬至，为太祖受命之符。又以西域、中原地逾万里，依唐僧一行里差之说，以增损之。东西测侯，不复差式。乃表上于行在曰：“汉、唐以来，经元创法不啻百家，其气候之早晏，朔望之疾徐，二曜之盈衰，五星之起伏，疏密无定，先后不同。盖都邑之各殊，或历年之渐远，不得不差也。唐历八徒，宋历九更，金《大明历》百年才经一改。此去中原万里，以昔程今，昔密今疏，东微西著。今二月、五月朔，微月见于西南，较之于历，悉为先天。”自汉、唐以来历算之书备矣。俱无此说。是年正月、四月虽皆为小尽，然亦未有朔日见月者也。是时，太祖方用兵西域，其书不果颁用。楚材尝言，西域历五星密于中国，又作《麻荅历》，今不传。楚材父履在金末作《乙未元历》，楚才益本其文之书，更名为《庚午元历》云。至世祖至元四年，西域人札马鲁丁用回回法撰《万年历》，帝稍采用之。其法为默特纳国王马哈麻所造历，元起西域阿刺必年，即随开皇己未，不置闰月，以三百六十五日为一岁。岁十二宫，宫有闰日，凡百二十八年宫闰三十一日，以三百五十四日为一周，周十二月，月有闰日，凡三十年月闰十一日。历千九百四十一年，宫月日辰再会。此其立法之大概也。十三年，世祖平宋，诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、工部郎中郭守敬，立局改治新历。先是，太保刘秉忠以《大明历》辽、金承用岁久，浸以后天，议修正之。已而秉忠卒，事遂寝。至是，世祖思用其言，遂命询与守敬率南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨源、王素、岳铉、高敬等，分掌测验、推步，以衡能推明历理，俾参预之。守敬首言：“历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。今司天浑仪，宋皇佑中汴京所造，不与此处天度相符，比量南北二极，约差四度。表百年深，亦复欹侧不可用。”乃尽考其失，而移置之。既又别图爽垲，以木为重棚，创作简仪、高表，用相比覆。又以为天枢附极而动，昔人尝展管望之，末得其的，作候极仪。极辰既位，天体斯正，作浑天象。象虽形似，莫适所用，作玲珑仪。以表之测天之正圆，莫若以圆求圆，作仰仪。古有经纬，结而不动，守敬则易之，作立运仪。日有中道，月有九行，守敬则一之，作证理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，察景则难，作窥几。历法之验，在于交会，作日月食仪。天有赤道，轮以当之，两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。以上凡十三等。又作正方案、九表、悬正仪、座正仪，凡四等，为四方行测者所用。又作仰规、覆矩图、异方、浑盖图、日出入永短图，凡五等，与上诸仪互相参考。十六年，改局为太史院，以赞善王恂为太史令，守敬为同知太史院事，给印章，立官府。是年，奏进仪表式样，守敬对御指陈理致，一一周悉。自朝至于日晏，上不为倦。守敬奏：唐一行开元间令天下测景，书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大，苦不远方测验，日月交食分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰去天高下不同；可先南北立表，取直测景。上可其奏。遂设监候官一十四员，分道相继而出。先测得：南海：北极出地一十五度。夏至景在表南长一尺一寸六分，昼五十四刻，夜四十六刻。衡岳：北极出地二十五度。夏至日在表端无景，昼五十六刻，夜四十四刻。岳台：北极出地三十五度，夏至景长一尺四寸八分，昼六十刻，夜四十刻。和林：北极出地四十五度，夏至景长三尺二寸四分，昼六十四刻，夜三十六刻。铁勒：北极出地五十五度，夏至景长五尺一分，昼七十刻，夜三十刻。北海：北极出地六十五度，二至景长六尺七寸八分，昼八十二刻，夜一十八刻。继又测得：上都：北极出地四十三度少。大部：北极出地四十二度强，夏至晷景长一丈二尺三寸六分，昼六十二刻，夜三十二刻。益部：北极出地三十七度少。登州：北极出地三十八度少。高丽：北极出地三十八度少。西京：北极出地四十度少。太原：北极出地三十八度少。安西府：北极出地三十四度半强。兴元：北极出地三十三度半强。成都：北极出地三十一度半强。西凉州：北极出地四十度强。东平：北极出地三十五度太强。大名：北极出地三十六度。南京：北极出地三十四度太强。阳城：北极出地三十四度太。扬州：北极出地三十三度。鄂州：北极出地三十一度半。吉州：北极出地二十六度半。雷州：北极出地二十度太。琼州：北极出地十九度太。十七年，新历告成。守敬上奏曰：臣等窃闻帝王之事，莫重于历。自黄帝迎日推策，帝尧以闰月定四时成岁，舜在璇玑玉衡以齐七政。爰及三代，历无定法，周秦之间，闰余乖次。西汉造《三统历》，百三十年而后是非始定。东汉造《四分历》，七十余年而仪式备。叉百二十一年，刘洪造《乾象历》，始悟月行有迟速。又百八十年，姜岌造《三纪甲子历》，始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉历》，始悟以朔望及弦定大小余。又六十五年，祖冲之造《大明历》，始悟太阳有岁差之数，极星去不动处一度余。又五十二年，张子信始悟日月交道有表里，五星有迟疾留逆。又三十三年，刘焯造《皇极历》，始悟日行有盈缩。又三十五年，傅仁均造《戊寅元历》，颇采旧仪，始用定朔。又四十六年，李淳风造《麟德历》，以古历章?元首分度不齐，始为总法，用迸朔以避晦晨月见。又六十三年，僧一行造《大衍历》，始以朔有四大三小，定九服交食之异。又九十四年，徐昂造《宣明历》，始悟日食有气刻时三差。又二百三十六年，姚舜辅造《纪元历》，始悟食甚泛余差数。以上计千一百八十二年，历经七十，改其创法者十有三家。自是又百七十四年，钦惟圣朝统一六合，肇造区夏，专命臣等改治新历。臣等用创造简仪、高表，凭其测到实数所考正者凡七事：一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日测到晷景，逐日取对，冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戌日夜半后八刻半。又定丁丑夏至，得在庚子日夜半后七十刻。又定戊寅冬至，在癸卯日夜半后三十三刻；己卯冬至、在戊申日夜半后五十七刻半；庚辰冬至，在癸丑日夜半后八十一刻半。各减大明历十八刻，远近阳符，前后应准。二曰岁余。自刘宋《大明历》以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，用以阳距，各得其时合用岁余。今考验四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分。其二十五分为今历岁余合用之数。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道箕九度有畸。仍凭每日测到太阳躔度，或凭星测月，或凭月测日，或径凭星度测日，立术推算。起自丁丑正月，至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，与月食相符。四曰月离。自丁丑以来至今，凭每日测得逐时太阴行度推算变，从黄道求入转极疾并平行处，前后凡十三转。计五十一事，内除去不真的外，有三十事。得大明历入转后天，又因考验交食加大明历三十刻，与天道合。五曰入交。自丁丑五月以来，凭每日测到太阴去极度数，比拟黄道去极度，得月道交于黄道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分得入时刻，与大明所差不多。六曰二十八宿距度。自汉代初历以来，距度不同，互有损益。大明历则于度下余分附以太半少，皆私意牵就，未尝实测其数，今新仪皆细刻周天度分，每度为三十六分，以距线代管窥宿度余分，并依实测，不以私意牵就。七曰日出入昼夜刻。《大明历》日出入昼夜刻，皆据汁京为准，其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下、黄道出入内外度，立术推求每日日出入昼夜刻，得夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻，冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻；永为定式。所创法凡五事：一曰太阳盈缩。用四正定气立为升降艰，立招差求得每日行分初末极差积度，比古为密。二曰月行迟疾。古历皆用二十八限，今以万分日之八百二十分为一限，凡析为三百三十六限，依垛叠招差，求得转分进退，其迟疾度数逐时不用，盖前所未有。三曰黄赤道差。旧法以一百一度相减相乘。今依算术勾股弧矢方圆斜直所容，求到度率积差差率，与天道实为吻合。四曰黄赤道内外度。据累年实测内外极度二十三度九十分，以圆容方直矢接勾股为法求每日去极，与所测相符。五曰白道交周。旧法黄道变推白道，以斜求斜。今用立浑比量，得用与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分，拟以为法。推逐月每交二十八宿度分，于理为尽。诏赐名曰授时历。十八年，颁新历于天下。十九年，守敬以推步之式与立成之数皆无定稿，乃著《推步》七卷、《立成》二卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷，表上之。二十年，又诏太子谕德李谦就守敬之《历议稿》重加修订，以阐新历顺天求合之理。大德三年八月朔，时加巳依新历日食二分有奇，至其时不应，台官皆惧。保章正齐履谦曰：“日当食不食，古有之。况时近午，阳盛阴微，宜当食不食。”遂考唐开元以来当食不食者凡十事以闻。六年六月朔，时加戌依新历日食五十七秒，众以涉交既浅，且近浊，欲匿不报。履谦曰：“吾所掌者常数也。其食与否，则系于天。”独以状闻。及其时，果食。盖高远难穷之事，必积时累验，乃见端倪。《授时历》推日食之法，较前之十三家最密矣，然尚不能无数刻之差。故元之一代，日食四十有五，推食而不食者一，食而失推者一，夜食而误昼者一。履谦谓：食与否系于天，足犹泥前人当食不食，不当食而食之谬说，诬莫甚矣。泰定间，履谦为太史院使，以《授时历》行五十年未尝推考，乃日测晷景并晨昏五星宿度，自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加时真数，各减见行历书二刻，撰《二至晷景考》二卷。《授时》虽有经串，而经以著定法，串以纪成数；求共法之所以然，数之所从出，则略而不详；作《经串演说》八卷，以发明其蕴焉。时鄱阳人赵友钦推演《授时》之理，著《革象新书》五卷，号为新历之学。其《历法改革篇》曰：“历法由古及今，六十余术矣。汉太初粗为可取，然犹疏略未密。唐一行作大衍术，当时以为密矣，以今观之，犹自甚疏。盖岁浅则差少未觉，久而积差渐多，不容不改，要当随时测验，以求真数。其《日道岁差篇》曰：“统天术谓周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周岁三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半，然又谓周岁渐渐不同，上古岁策多，后世岁策少，如此则上古岁差少，后世岁差多。当今术法謜之，立减加岁策之法，上考往古，百年加一秒，下验将来，百年减一秒。”其《黄道损益篇》曰：“二至之日，黄道平其度，敛狭每度约得十之九二分，斜行赤道之交。今之授时术步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度数最少，己亥度数最多，其余则多寡稍近。其《积年日法篇》曰：“前代造术者，逆求往古门上元，求其积年总会，是以必立日法。然有所谓截元术，但将推步定数为顺算逆考，不求其齐。当今授时术采旧术截元之术，凡积年日法皆所不取。其《日月盈缩筒》曰：“月行十三度余十九之七，然或先期，或后期，有差至四五度者，后汉刘洪始考究之，知月有盈缩。隋之刘焯始觉太阳亦有盈缩，最多之时在于春秋二分，均差两度有余。李淳风有推步月孛法，谓六十二日行七度，六十二年七周天。所谓孛者，乃彗星之一种光芒，偏槊者则谓之彗，光芒四出如浑圆者乃谓之孛。然孛以月为名者，孛之所在，太阴所行最迟，太阴在孛星对冲处则所行最疾。孛星不常见，止以太阴所行最迟处测之。其《月有九道篇》曰：“月行出入黄道之内外，远于黄道处六度二分。月道与黄道相交处在二交之始，名曰罗喉，交之中，名曰计都。自交初至于交中，月在黄道外，名曰阳限。自交中至于交出，月在黄道内，名曰阴限。所谓九行者，当以画图比之。四图各两黄道，似一圆环，俱于环南定为夏至。环北定为冬至，环西定为春分，环东定为秋分。将一图画为青追，与黄道交于南北，南交为罗，北交为计。其青道二边入在黄道西之东，是内青道；一边出在黄道东之东，是外青道。又将一图画白道，亦与黄道交于南北，南交为计，北交为罗。其白道一边入在黄道东之西，是内白道；一边出在黄道西之西，是外白道。又将一图画朱道，与黄道交于东西，东交为计，西交为罗。其朱道一边入黄道之南，是内朱道，一边出在黄道南之南，是外朱道。又将一图画黑道，亦与黄道交于东西，东交为罗，西交为计。其黑道一边入在黄道南之北，是内黑道；一边出在黄道北之北，是外黑道。此虽画四图，然四图之八道止是一道也。本八道而曰九行者，以北道之行，交于黄道，故道以九言也。八道常变易，不可置于浑仪上，亦不得画于星图。所可具者黄、赤二道耳。欲别于黄，故涂以赤。赤道近八道皆相交远近。朱道止十八度远，黑道至三十度远，青白二道约二十四度远。”其《地域远近篇》曰：“古者立八尺之表，以验四时日景。地中夏至，景在表北一尺六寸，冬至，景在表北一丈三尺。南至交广，北至铁勒等处验之，俱各不同。表高八尺，似失之短。至元以来，表长四丈，诚万古之定法也。所谓土圭者，自古有之。然地上天多早晚，太阳与人相近，则景移必疾；日午与人相远，则景移必迟。世间土圭均画而已，岂免午侵己未，而早晚时刻俱差。地中差已如是，若以八方偏地验之，土圭之不可准尤为显。然偏东者，早景疾，而晚景迟，午景先至；偏西者，早景迟，而晚景疾，午景后期；偏北者，少其画，而景迟；偏南者，多其画，而景疾。若南越短，景南指，而子午反复，则又讹逆甚矣。”其《日月薄食篇》曰：“日之圆，体大，月之圆，体小。日道之周围亦大，月道之周围亦小。日道距天较近，月道距天较远。日月之体与所行之道，虽有少广之差，然月与人相近，日与人相远。故月体因近视而可比日道之广，日食、月食当以天度经纬而推。同经不同纬，止曰合朔。同经同纬合朔，而有食矣。人望日体，见为月之黑体所障，故云日食。然日体未尝有损，所谓食者，强名而已。日月对躔，而望若不当二交前后，则不食。望在二交前后，则必食。或既或不既，当以距交远近而推。日月之圆径相倍。日径一度，月径止得日径之半，然在于近视，亦准一度。是犹省秤出于复秤，斤两虽同，其实则有轻重之异。日之圆径倍于月，则暗虚之圆径亦倍于月。月既准一度，则暗虚广二度矣。月食分数止以距交近远而论，别无四时加试。八方所见食分并同。日食则不然，旧历云：假令中国食既戴，日之下所亏才半，化外反观，则交而不食。何以言之？日月如大小二球，共悬一索。日上、月下，相去稍远，人在其下正望之，黑球遮尽赤球，比若食既。若傍视，则分远近之差，即食数有多寡也。”其《五纬距合篇》曰：“古者止知五纬距度，未知有变数之加减。北齐张子信仰观岁久，始知五纬又有盈缩之变，当加减常数以求其逐日之躔。所以然者，盖五纬不由黄道，亦不由月之九道。乃出入黄道内外，各自有其道。视太阳远近而迟疾者，如足力之勤倦又有变数之加减者。比如道里之径直斜曲。其《勾股测天篇》曰：“古人测景，千里一寸之差，犹未亲切。今别定表之制度，并述元有算法。就地中各去南北数百里，仍不偏于东西，俱立一表，约高四丈。于表首下数寸作一方窍，外广而内狭，当中薄如连边，两旁如侧置漏底之碗，形圆而窍方。以南北表景之数相减余，名景差。两表相距里路，各乘南北表景，各如景差而一即得。二表各与戴日之地相距数日，平远各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一即得。日轮顶与戴日地相距数，以南北表景各加平远所得自乘，名勾幂。日高自乘，名股幂。两幂相并，名弦幂。开为平方，名曰日远。乃南北表窍之景距日斜远也。其《乾象周髀篇》曰：“古人谓圆径一尺，周围三尺。后世考究则不然。圆一而周三，则尚有余；围三而径一，则为不足。盖围三径一，是六角之用也。或谓圆径一尺，周围三尺一寸四分；或谓圆径七尺，周围二十二尺；或谓圆径一百一十三，周围三百五十五。径一而周三一四，犹自径多围少；径七而周二十二，却是径少周多；径一百一十三，周三百五十五，最为精密。其考究之术，两百眼茶盘一，眼广一寸，方图之内，画为圆图，径十寸，圆内又画小方图。小方以算术展为圆象，自四角之方，添为八角曲圆为第一次。若第二次，则为曲十六。第三次为，则曲三十二。第四次则为曲六十四。凡多一交，其曲必倍。至十二次，则其为曲一万六千三百八十四。其初之小方，渐加渐展，渐满渐实，角放愈多，而其为方者不复方，而变为圆矣。今先以第一次言之，内方之弦十寸，名大弦，自乘得一百寸，名大弦幂，内方之勾幂五十寸，名第一次大勾幂。以第一次大勾幂，减其大弦幂，余五十寸，名大股幂，开方得七寸七厘一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股减其大弦，余二寸九分二厘八毫有奇，名第一较，折半得一寸四分六厘四毫有奇，名第一次小勾。此小勾之数。乃内方之四边与圆围最相远处也。以第一次小勾自乘，得二寸一分四厘四毫有奇，名第一次小勾幂。以第一次大勾幂，折半得二十五寸。又折半得十二寸五分，名第一次小股幂，并第一次小勾幂，得一十四寸六分四百四毫有奇，名第一次小弦幂，开方得三寸八分二厘六毫有奇，名第一次小弦，即是八曲之一。八乘第一次小弦，行三十寸六分一厘有奇，即是八曲之周围也。此以小数求之，不若改为大数，将大弦改为一千寸，然后依法而求。若求第二次者，以第一次小弦幂，就名第二次大勾幂。以第一次大股幂减其大弦幂余，为第二次大股幂。开方为第二次大股，以减其大弦余为第二较，折半名二次小勾。此小勾之数，即是八曲之边，与圆围最相远处也。以第二次小勾自乘，名第二次小勾幂。以第二次大勾幂两折，名第二次小股幂。以第二次小股幂并第二次小勾幂，名第二次小弦幂，开方为第二次小弦，即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周围也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦递次相仿。置第十二次之小弦，以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也。以一百一十三乘之，果得三百五十五。故言其法精密。要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。友钦阐明历理，于授时术尤为深得，传其学于龙游人朱晖。有元一代，不为历官，而知历者，友钦一人而已。

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志第四 历四-新元史

志第四 历四 △授时历经下步中星第五大都北极，出地四十度太强。冬至，去极一百一十五度二十一分七十三秒。夏至，去极六十七度四十一分一十三秒。冬至昼，夏至夜，三千八百一

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志第十一　历五

　　大统历法三上推步

　　大统推步，悉本《授时》，惟去消长而已。然《通轨》诸捷法，实为布算所须，其间次序，亦有与《历经》微别者。如气朔发敛，《授时》原分二章，今古合为一。《授时》盈缩差在日躔，迟疾差在月离，定朔、经朔离为二处。今则经朔后，即求定朔，于用殊便。其目七：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星，曰四余。

　　▲步气朔发敛附　　洪武十七年甲子岁为元。上距至元辛巳一百零四算。

　　岁周三百六十五万二千四百二十五分，实测无消长。半之为岁周，四分之为气象限，二十四分之为气策。

　　日周一万。即一百刻，刻有百分，分有百秒，以下微纤，皆以百递析。　　气应五十五万零三百七十五分。

　　置距算一百零四，求得中积三亿七千六百一十九万九千七百七十五分，加辛巳气应五十五万零六百分，得通积三亿七千六百七十五万零三百七十五分，满纪法六十去之，余为《大统》气应。

　　开应一十八万二千零百七十零分一十八秒。　　置中积，加辛巳闰应二十零万二千零五十分，得闰积三亿七千六百四十零万一千八百二十五分，满朔实去之，余为《大统》闰应。　　转应二十零万九千六百九十零分。

　　置中积，加辛巳转应一十三万零二百零五分，共得三亿七千六百三十二万九千九百八十分，满转终去之，余为《大统》转应。

　　交应一十一万五千一百零五分零八秒。　　置中积加辛巳交应二十六万零三百八十八分，共得三亿七千六百四十六万零一百六十三分，满交终去之，余为《大统》交应。

　　按《授时历》既成之后，闰转交三应数，旋有改定，故《元志》、《历经》闰应二十零万一千八百五十分，而《通轨》载闰应二十零万二千零五十分，实加二百分，是当时经朔改早二刻也。《历经》转应一十三万一千九百零四分，《通轨》载转应一十三万零二百零五分，实减一千六百九十九分，是入转改迟一十七刻弱也。《历经》交应二十六万零一百八十七分八十六秒，《通轨》交应二十六万零三百八十八分，实加二百分一十四秒，是正交改早二刻强也。或以《通轨》辛巳三应，与《元志》互异，目为元统所定，非也。夫改宪必由测验，即当具详始末，何反追改《授时历》，自没其勤乎？是故《通轨》所述者，乃《授时》续定之数，而《历经》所存，则其未定之初藁也。

　　通余五万二千四百二十五分。　　朔策二十九万五千三百零五分九十三秒，一名朔宝。半之为望策，一名交望。又半之为弦策。

　　通闰一十零万八千七百五十三分八十四秒。　　月闰九千零百六十二分八十二秒。

　　闰限一十八万六千五百五十二分零九秒。一名闰准。

　　盈初缩末限八十八万九千零百九十二分二十五秒。

　　缩初盈末限九十三万七千一百二十零分二十五秒。　　转终二十七万五千五百四十六分，半之为转中。　　朔转差一万九千七百五十九分九十三秒。　　日转限一十二限二十。

　　转中限一百六十八限零八三零六零。以日转限乘转中。一名限总。

　　朔转限二十四限一零七一一四六。以日转限乘朔转差。

　　弦转限九十零限零六八三零八六五。以日转限乘弦策。一名限策。　　交终二十七万二千一百二十二分二十四秒。

　　朔交差二万三千一百八十三分六十九秒。

　　气盈二千一百八十四分三十七秒五十微。

　　朔虚四千六百九十四分零七秒。

　　没限七千八百一十五分六十二秒五十微。

　　盈策九万六千六百九十五分二十八秒。

　　虚策二万九千一百零四分二十二秒。

　　土王策三万零四百三十六分八十七秒五十微。

　　宿策一万五千三百零五分九十三秒。

　　纪法六十万。即旬周六十日。　　推天正冬至置距洪武甲子积年减一，以岁周乘之为中积，加气应为通积，满纪法去之，至不满之数，为天正冬至。以万为日，命甲子算外，为冬至日辰。累加通余，即得次年天正冬至。

　　推天正闰余置中积，加闰应，满朔策去之，至不满之数，为天正闰余。累加通闰，即得次年天正闰余。

　　推天正经朔置冬至，减闰余，遇不及减，加纪法减之，为天正经朔。无闰加五十四万三六七一一六。十二朔策纪法。有闰，加二十三万八九七七零九。十三朔实去纪法。满纪法仍去之，即得次年天正经朔视天正闰余在闰限已上，其年有闰月。

　　推天正盈缩置半岁周，内减其年闰余全分，余为所求天正缩历。如径求次年者，于天正缩历内减通闰，即得。减后，视在一百五十三日零九已下者，复加朔实，为次年天正缩历。　　推天正迟疾置中积，加转应，减去其年闰余全分，余满转终去之，即天正入转。视在转中已下为疾历，已上去之为迟历。如径求次年者，加二十三万七一一九一六，十二转差之积。经闰再加转差，皆满转终去之，迟疾各仍其旧。若满转中去之，为迟疾相代。

　　推天正入交置中积，减闰余，加交应，满交终去之，即天正入交凡日。如径求次年者，加六千零八十二分零四秒，十二交差内去交终。经闰加二万九千二百六十五分七十三秒，十三交差内去交终。皆满交终仍去之，即得。

　　推各月经朔及弦望置天正经朔策，满纪法去之，即得正月经朔。以弦策累加之，去纪法，即得弦望及次朔。

　　推各恒气置天正冬至，加三气策，满纪法去之，即得立春恒日。以气策累加之，去纪法，即得二十四气恒日。

　　推闰在何月置朔策，以有闰之年之闰余减之，余为实，以月闰为法而一，得数命起天正次月算外，即得所闰之月。闰有进退，仍以定朔无中气为定。如减余不及月闰，或仅及一月闰者，为闰在年前。

　　推各月盈缩历置天正缩历，加二朔策，去半岁周，即得正月经朔下盈历。累加弦策，各得弦望及次朔，如满半岁周去之交缩，满半周又去之即复交盈。

　　推初末限视盈历在盈初缩末限已下，缩历在缩初盈末限已下，各为初。已上用减半岁周为末。

　　推盈缩差置初末历小余，以立成内所有盈缩加之乘之为实，日周一万为法除之，得娄数以加其下盈缩积，即盈缩差。

　　推各月迟疾历置天正经朔迟疾历，加二转差，得正月经朔下迟疾历。累加弦策，得弦望及次朔，皆满转中去之，为迟疾相代。

　　推迟疾限各置迟次历，以日转限乘之，即得限数。以弦转限累加之，满转中限去之，即各弦望及次朔限。如径求次月，以朔转限加之，亦满转中去之，即得。又法：视立成中日率，有与迟疾历较小布相近者以减之，余在八百二十已下，即所用限。

　　求迟疾差置迟疾历，以立成日率减之，如不及减，则退一位。余以其下损益分乘之为实，八百二十分为法除之，得数以加其下迟疾积，即迟疾差。　　推加减差视经朔弦望下所得盈缩差、迟疾差，以盈遇迟、缩遇疾为同相并，盈遇疾、缩遇迟为异相较，各以八百二十分乘之为实，再以迟疾限行度内减去八百于二十分，为定限度为法，法除实为加减差。盈迟为加，缩疾为减，异名相较者，盈多疾为加，疾多于盈为减，缩多於迟减，迟多於缩加。

　　推定朔望各置经朔弦望，以加减差加减之，即为定日。视定朔干名，与后朔同者月大，不同者月小，内无中气者为闰月。其弦望在立成相同日日出分已下者，则退一日命之。

　　推各月入交置天正经朔入交凡日加二交差，得正月经朔下入交凡日。累加交望，满交终去之，即得各月下入交凡日。径求次月，加交差即得。　　推土王用事置谷雨、大暑、霜降、大寒恒气日，减土王策，如不及减，加纪法减之，即各得土王用事日。　　推发敛加时各置所推定朔弦望及恒气之小余，以十二乘之，满万为时，命起子正。满五千，又进一时，命起子初。算外得时不满者，以一千二百除之为刻，命起初刻。初正时之刻，皆以初一二三四为好，于算外命之。其第四刻为畸零，得刻法三之一，凡三时成一刻，以足十二时百刻之数。

　　按古因及《授时》，皆以发敛为一章。发敛去者，日道发南敛北之细数也，而加时附焉，则又所以纪发敛之辰刻，故曰发敛加时也。《大统》取其便算，故合发敛与气朔共为一章，或以乘除疏发敛，非其质矣。

　　推盈日视恒气小余，在没限已上，为有盈之气。置策余一万零一四五六二五，以十五日除气策。以有盈之气小余减之，余以六十八分六六以气盈除十五日。乘之，得数以加恒气大余，满纪法去之，命甲子算外，得盈日。求盈日及分秒，以盈策加之，又去纪法，即得。

　　推虚日视经朔小余在朔虚已下，为有虚之朔。置有虚之朔小余，以六十三分九一以朔虚除三十日。乘之，得数以加经朔大余，满纪法去之，命甲子算外为虚日。求次虚。置日及分秒，以虚策加之，又去纪法，即得。

　　推直宿置通积，以气应加中积。减闰应，以宿会二十八万累去之，馀命起翼宿算外，得天正经朔直宿。置天正经宿直宿，加两宿策，为正月经朔直宿。以宿策累加，得各月经朔直宿。再以各月朔下加减差加减之，为定朔直宿。

　　▲步日躔　　周天三百六十五度二十五分七十五秒，半之为半周天，又半之为象限。

　　岁差一分五十秒。

　　周应三百一十五度一十分七十五秒。

　　按此系至元辛巳之周应，乃自虚七度至箕十之度数也。洪武甲子相距一百四年，岁差已退天五十四分五十秒，而周应仍用旧数，殆传习之误耳。

　　推天正冬至日躔赤道宿次置中积，加周应，应减距历元甲子以来岁差。满周天去之，不尽，起虚七度，依各宿次去之，即冬至加时赤道日度。如求次年，累减岁差，即得。

　　表格略

　　推天正冬至日躔黄道宿次置冬至加时赤道日度，以至后赤道积度减之，余以黄道率乘之。如赤道率而一，得数以加黄道积度，即冬至加时黄道日度。黄赤道积度及度率，俱见《法原》。

　　表格略

　　推定象限度以冬至加时赤道日度，与冬至加时黄道日度相减，为黄赤道差。以本年黄赤道差，与次年黄赤道相减，余以四而一，加入气象限内，为定象限度。

　　推四正定气日置所推冬至分，即为冬正定气，加盈初缩末限，满纪法去之，余为人正定气。加缩初盈末限，去纪法，余为秋正定气。加缩初盈末限，去纪法，余为次年冬正定气。

　　推四正相距日以前正定气大余，减次正定气大余，加六十日，得相距日。如次正气不及减者，加六十日减之，再加六十日，为相距日。

　　推四正加时黄道积度置冬至加时黄道日度，累加定象限，各得四正加时黄道积度。

　　推四正加时减分置四正定气小余，以其初日行度乘之，如日周而一，为各正加时减分。

　　冬正行一度零五一零八五。春正距夏正九十三日者，行零度九九九七零三，距九十四日者行一度。夏正行零度九五一五一六。秋正距冬正八十八日者，行一度零零零五零五，距八十九日者行一度。

　　推四正夜半积度置四正加时黄道积芭，减去其加时减分，即得。

　　推四正夜半黄道宿次置四正夜半黄道积度，满黄道宿度去之，即得。

　　推四正夜半相距度置次正夜半黄道积度，以前正夜半黄道积度减之，余为两正相距度，遇不及减者，加周天减之。

　　推四正行度加减日差双相距度与相距日下行积度相减，余如相距日而一，为日差。从相距度人减去行积度者为加，从积度内减去相距度者为减。　　秋正距冬至，冬至距春正八十八日，行积度九十度四零零九，八十九日行积度九十一度四零一四。春正距夏至，夏至距秋秋正九十三日，行积度九十度五九九零，九十四日行积十五九八七。

　　推每日夜度置四正后每日行度，在立成。以日差加减之，为每日行定度。置四正夜半日度，以行定度每日加之，满黄道宿度去之，即每日夜半日度。　　黄道十二次宿度

　　危十二度六四九一，入娵訾，辰在亥。

　　奎一度七三六二，入降娄，辰在戍。

　　奎度四五六，入大梁，辰在酉。

　　胃三七度七四五六，入大梁，辰在酉。

　　毕六度八八零五，入实沈，辰在申。

　　井八度三四九四，入鹑首，辰在未。

　　柳三度八六八零，入鹑火，辰在午。　　张十五度二六零六，入鹑尾，辰在巳。

　　轸十度零七九七，入寿星，辰在辰。

　　氐一度一四五二，入大火，辰在卯。

　　尾三度一一五，入析木，辰在寅。

　　斗三度七六八五，入星纪，辰在丑。

　　女二度零六三八，入玄枵，辰在子。

　　推日躔黄道入十二次时刻置入次宿度，以入次日夜，以入次日夜半日度减之，余以日周乘之，一分作百分。为实。以入次日夜半日度，与明日夜半日度相减，余为法。实如法而一，各数，以发敛加时求之，即入次时刻。

　　▲步月离

　　月平行度一十三度三十六分八十七秒半。

　　周限三百三十六、半之为中限，又半之为初限。

　　限平行度零九分六十二秒。

　　太阳限行八分二十秒。

　　上弦九十一度三十一发四十三秒太。

　　望一百八十二度六十二分八十七秒半。

　　下弦二百七十三度九十四分三十一秒少。

　　交终度三百六十三度七十九分三十四秒一九六。

　　朔平行度三百九十四度七八七一一五一六八七五。　　推朔后平交日置交终分，风气朔历。减天正经朔交凡分，为朔后平交日。如推次月，累减交差二日三一八六九，得次月朔平交日。不及减交差者，加交终减之，其交又在本月，为重交月朔后平交日。每岁必有重交之月。　　推平交入转迟疾历置经朔迟疾历，加入朔后平交日为平交入转。在转中已下，其迟疾与经朔同，已上减去转中疾交迟，迟交疾。如推次月，累减交转差三千四百二十三分七六，交差内减转差数。即得。如不及减，加转中减之，亦迟疾相代。

　　推平交入限迟疾差置平交入转迟疾历，依步气朔内，推迟疾差，那得。

　　推平交加减定差置平交入限迟疾差，双日率八百二十分乘之，以所入迟疾限下行度而一，即得。在迟为加，在疾为减。

　　推经朔加时积置经朔盈缩历，见步气朔内。在盈历即为加时中积，在缩历加半岁周。如推次月，累加朔策，满岁周去之，即各朔加时中积，命日为度。若月内有二交，后交即注前交经朔加时中积。

　　推正交距冬至加时黄道积度及宿次置朔后平交日，以月平行乘之为距后度，加以经朔加时中积，为各月正交距冬至加时黄道积度。加冬至加时黄道日度，见日躔。以黄道积度钤减之，至不满宿次，即正交月离。如推次月，累减月平交朔差一度四六三一零二。以交终度减天周，其数宜为一度四六四零八零。遇重交月，同次朔。后仿此。

　　▲黄道积度钤

　　表格略

　　推正交日辰时刻置朔后症交日，加经朔，去纪法，以平交定差加减之，其日命甲子算外，小余依发敛加时求之，即得正交日辰时刻。如推次月，累加交终，满纪去之。如遇重交，再加交终。

　　推四正赤道宿次置冬至赤道日度，以气象限累加之，满赤道积度去之，为四正加时赤道日度。

　　▲赤道积度钤　　表格略

　　推正交黄道在二至后初末限置正交距冬至加时黄道积度，在半岁周已下为冬至后，已上减去半岁周，余为夏至后。又视二至后度分，在气象限已下为初限，已上用减半岁周，余为末限。推次月者，若本月初限，则累减月平交朔差，余为次月初限。不及减者，反减月平交朔差，余为次月末限。若本月末限则累加月平交朔差，为次月天限，至满气象限，以减半岁周，余为次月初限。

　　推定差度置初末限，以象极总差一分六零五五零八乘之，即为定差度。象极总差，是以象限除极差，其数宜为一十六分零五四四二。如推次月初限则累减，末限则累加，俱以极平差二十三分四九零二加减之。极平差，是以月平交朔差，乘象极总差，其数宜为二十三分五零四九。

　　推距差度置极差十四度六六，减去定差度，即得。求次月，以极平差加减之。初限加，末限减。

　　推定限度置定差度，以定极总差一分六三七一零七乘之，定极总差，是以极差除二十四度，其数宜为一度六三七一零七。所得视正交在冬至后为减，夏至后为加，皆置九十八度加减之，即得。

　　推月道与赤道正交宿度正交在冬至后，置春正赤道积度，以距差度初限加末限减之，在夏至后，置秋正赤道积度，以距差初限减末限加之。得数，满赤道积度钤去之，即得。

　　推月道与赤道正交后积度并入初末限视月道与赤道正交所入某宿次，即置本宿赤道全度，减去月道与赤道正交宿度，差为正后积度。以赤道各宿全度累中之，满气象限去之，为半交后。又满去之，为中交后。再满去之，为半交后。视各交积度，在半象限以焉为初限，以上覆减象限，余为末限。　　推定差置每交定限度，与初末限相乘，得数，千约之为度，即得。正交、中交后为加，半交后为减。

　　推月道定积度及宿次置月道与赤道各交后每宿积度，以定差加减之，为各交月道积度。加月道与赤道正交定宿度，共为正交后宿度。以前宿定积度减之，即得各交月道宿次。

　　▲活象限例

　　置正交后宿次，加前交后半交末宿定积度。为活象限。如正交后宿次度少，加前交不及数，却置正交后宿次加气象限即是。如遇换交之月，置正交后宿次，以前交前半交末宿定积度加之，为换交活象限。假如前交正交是轸，后交正交是角，其前交欠一轸。求活象限者，置正交后宿次，不从翼下取定积度加之，仍于轸下取定积度也。又如前交、正交是轸，后交、正交是翼，其前交多一翼。求活象限者，置正交后宿次，不从翼下取定积度加之，仍于张下取定积度也。

　　推相距日置定上弦大余，减去定朔大余，即得。上弦至望，望至下弦，下弦至朔仿此。不及减者，加纪法减之。

　　推定朔弦望入盈历及盈缩定差置各月朔弦望入盈缩历，以朔弦望加减差加减之，并在步气朔内。为定盈缩历。视盈历在盈初限下为盈初已上用减半岁周，余为盈末限。缩历在缩初限已下为缩初限，已上用减半岁周，余为缩末限。依步气朔内求盈缩差，为盈缩定差。　　推定朔弦望加时中积置定盈缩历，如是盈历在朔，便为加时中积，在上弦加气象限，在望加半岁周，在下弦加三象限。如是缩历在朔，加半岁周。在上弦加三象限，在望便为加时中积，在下弦加气象限，加后满周天去之。

　　推黄朔弦望加时中定积度置定朔弦望加时中积，以其下盈缩定差盈加缩之，即得。

　　推赤道加时积度及宿次置黄道加时定积度，在周天象限已下为至后，已上去之为分后，满两象限去之为至后，满三象限去之为分后。置分至后黄道积度，以立成内分至后积度减之，余以其下赤道度率乘之，如黄道度率而一，得数加入分至后积度，次以所去象限合之，为赤道加时定积度。置赤度加时定积度，加入天正冬至加时赤道日度，满赤道积度钤去之，得定朔弦望赤道加时宿次。

　　推正半合交后积度置定朔弦望加时赤道宿次，视朔弦望在何交后，正半、中半。即以交生积度，在朔望加时赤道宿前一宿者加之，即为正半中交后积度，满气象限去之，为正半中换交。

　　推初末限视正半中交后积度，在半象已下为初限，已上覆减气象限，余为末限。

　　推月道与赤道定差置其交定限度，与初末限相减相乘，所得，千约之为度，即定差。在正交、中交为加。在半交为减。

　　推定朔弦望加时月道宿次置定朔弦望加时月道定积度，取交后月道定积度，取交后月道定积度，在所置罕前一宿者减之，即得。遇转交则前积度多，所置积度少为不及减。从半转正，加其交活象限减之。从正转半，从半转中，从中转半，皆加气象限减之。

　　推夜半入转日置经朔弦望迟疾历，以定朔弦望加减差加减之。大疾历，便为定朔弦望加时入转日。在迟历，用加转中置定朔弦望加时入转日，以定朔弦望小余减之，为夜半入转日，遇入转日少不及减者，加转终减之。

　　推加时入转度置定朔弦望小余，去秒，取夜半入转日下转定度乘之，万约之为分，即得。

　　▲迟疾转定度钤

　　表格略

　　推定朔弦望夜半入转积度及宿次置定朔弦望加时月道定积度，减去加时入转度，为夜半积度。如朔弦望加时定积度初换交，则不及减，半正相接，用活象限，正半、中半相接，用气象限加之，然后减加时入转度，则正者为后年，后年为中，中为前半，前半为正。置朔弦望夜半月道定积度，依推定朔弦望加时月道宿次法减之，为夜半宿次。

　　推晨昏入转日及转度置夜半入转日，以定盈缩历检立成日下晨分加之，为晨入转日满转终去之。置其日晨分，取夜半入转日下转定度乘之，万约为分，为晨转度。如求昏转日转度，依法检日下昏分，即得。　　推晨昏转积度及宿次置朔弦望夜半月道定积度，加晨转度，为晨转积度。如求昏转积度，则加昏转度，满气象限去之，则换交。若推夜半积度之时，因朔弦望加时定积不及减转度，以半正相接，而加活象限之者，今复换正交，则以活象限减之。置晨转积度，依前法减之，为晨分宿次。置昏转积度，依法减之，为昏分宿次。

　　推相距度朔与上弦相距，上弦与望相距，用昏转积度。望与下弦相距，下弦与朔相距，用晨转积度。置后段晨昏转积度，视与前段同交者，竟以前段晨昏转积度减之，余为相距度。若后段与前段接两交者，从正入半，从半入中，从中入半，加气象限。从半入正，加活象限。然后以前段晨昏转积度减之。若后段与前段接三交者，其内无从半入正，则加二气象限，其内有从半入正，则加一活象限，一气象限，以前段晨昏转积度减之。

　　推转定积度置晨昏入转日，朔至弦，弦至望，用昏。望至弦，弦至朔，用晨。以前段减后段，不及减者，加二十八日减之，为晨昏相距日。从前段下，于钤内验晨昏相距日同者，取其转定积度。若朔弦望相距日少晨昏相距日一日者，则于晨昏相距日同者，取其转积度，减去转定极差一十四度七一五四，余为前段至后段转定积度。

　　▲转定积度钤　　以下表格略

　　推加减差以相距度与转定积度相减为实，以其朔弦望相距目为法除之，所得视相距度多为加差，少为减差。

　　推每日太阴行定度置朔弦望晨昏入转日，视迟疾转定度钤日下转定度，累日以加减差加减之，至所距日而止，即得。

　　推每日月离晨昏宿次置朔弦望晨昏宿次，以每日太阴行度加之，满月道宿次减之，即得。　　▲赤道十二宫界宿次

　　表格略　　推月与赤道正交后宫界积度视月道与赤道正交后，各宿积度宫界，某宿次在后，即以加之，便为某宫正交后宫界积度。求次宫者，累加宫率二十度四三八一，满气象限去之，各得某宫下半产交后宫界积度。

　　推宫界定积度视宫界度在半象限已下为初限，已上覆减气象限，余为末限。置某交定限度，与初末限相减、相乘，所得，千约之为度，在正交、中交为加差，在半交为减差。置宫界正半中交后积度，以定差加减之，为宫界定积度。　　推宫界宿次置宫界定积度，于月道内取其在所置前一宿者减之之不及减者，加气象限减之。　　推每月每日下交宫时刻置每月宫界宿次，减入交宫日下月离晨昏宿次。如不及减者，加宫界宿次前宿减之，余以日周乘之，以其日太阴行定度而一，得数，又视定盈缩历取立成日下晨昏分加之。晨加晨分，昏加昏分。　　如满日周交宫在次日，不满在本日，依发敛推之，即交宫时刻。

　　▲步中星

　　推每日夜半赤道置推到每日夜半黄道，见日躔。依法以黄道积度减之，余如黄道率而一，以加赤道积度。又以天正科至赤道加之，如在春正后，再加一象限，夏至后加半周天，秋正后加三象限，为每日夜半赤道积度。

　　推夜半赤道宿度置夜半赤道度，以赤道宿度挨次减之，为本日夜半赤道宿度。　　推晨距度及更差度置立成内每日晨分，以三百六十六度二十五分七十五秒乘之为实，如日周而一，为晨距度。倍晨距度，以五除之，为更差度。　　推每日夜半中星置推到每日夜半赤道宿度，加半周天，即夜半中唾积度。以赤道度挨次减之，为夜半中星宿度。

　　推昏旦中星置夜半中星积度，减晨距度，为昏中星积度。以更差度累加之，为遂更及旦中星积度。俱满赤道宿度去之，即得。以晨分五之一，加们为更率。更率五而一为点率。凡昏分，即一更一点，累加更率为各更。凡交更即为一点，累加点率为各点。

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志第十四 历八

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志第十一 历五 大统历法三上推步 大统推步，悉本《授时》，惟去消长而已。然《通轨》诸捷法，实为布算所须，其间次序，亦有与《历经》微别者。如气朔发敛，《授时》原分二章，,

志第十二　历六-明史

志第十二 历六 大统历法三下推步 ▲步交食 交周日二十七日二十一刻二二二四。半之为交中日。 交终度三百六十三度七九三四一九六。半之为交中日度。 正交度三百五十七度六四。

志第十一　历五

　　大统历法三上推步　　大统推步，悉本《授时》，惟去消长而已。然《通轨》诸捷法，实为布算所须，其间次序，亦有与《历经》微别者。如气朔发敛，《授时》原分二章，今古合为一。《授时》盈缩差在日躔，迟疾差在月离，定朔、经朔离为二处。今则经朔后，即求定朔，于用殊便。其目七：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星，曰四余。　　▲步气朔发敛附　　洪武十七年甲子岁为元。上距至元辛巳一百零四算。　　岁周三百六十五万二千四百二十五分，实测无消长。半之为岁周，四分之为气象限，二十四分之为气策。　　日周一万。即一百刻，刻有百分，分有百秒，以下微纤，皆以百递析。　　气应五十五万零三百七十五分。　　置距算一百零四，求得中积三亿七千六百一十九万九千七百七十五分，加辛巳气应五十五万零六百分，得通积三亿七千六百七十五万零三百七十五分，满纪法六十去之，余为《大统》气应。　　开应一十八万二千零百七十零分一十八秒。　　置中积，加辛巳闰应二十零万二千零五十分，得闰积三亿七千六百四十零万一千八百二十五分，满朔实去之，余为《大统》闰应。　　转应二十零万九千六百九十零分。　　置中积，加辛巳转应一十三万零二百零五分，共得三亿七千六百三十二万九千九百八十分，满转终去之，余为《大统》转应。　　交应一十一万五千一百零五分零八秒。　　置中积加辛巳交应二十六万零三百八十八分，共得三亿七千六百四十六万零一百六十三分，满交终去之，余为《大统》交应。　　按《授时历》既成之后，闰转交三应数，旋有改定，故《元志》、《历经》闰应二十零万一千八百五十分，而《通轨》载闰应二十零万二千零五十分，实加二百分，是当时经朔改早二刻也。《历经》转应一十三万一千九百零四分，《通轨》载转应一十三万零二百零五分，实减一千六百九十九分，是入转改迟一十七刻弱也。《历经》交应二十六万零一百八十七分八十六秒，《通轨》交应二十六万零三百八十八分，实加二百分一十四秒，是正交改早二刻强也。或以《通轨》辛巳三应，与《元志》互异，目为元统所定，非也。夫改宪必由测验，即当具详始末，何反追改《授时历》，自没其勤乎？是故《通轨》所述者，乃《授时》续定之数，而《历经》所存，则其未定之初藁也。　　通余五万二千四百二十五分。　　朔策二十九万五千三百零五分九十三秒，一名朔宝。半之为望策，一名交望。又半之为弦策。　　通闰一十零万八千七百五十三分八十四秒。　　月闰九千零百六十二分八十二秒。　　闰限一十八万六千五百五十二分零九秒。一名闰准。　　盈初缩末限八十八万九千零百九十二分二十五秒。　　缩初盈末限九十三万七千一百二十零分二十五秒。　　转终二十七万五千五百四十六分，半之为转中。　　朔转差一万九千七百五十九分九十三秒。　　日转限一十二限二十。　　转中限一百六十八限零八三零六零。以日转限乘转中。一名限总。　　朔转限二十四限一零七一一四六。以日转限乘朔转差。　　弦转限九十零限零六八三零八六五。以日转限乘弦策。一名限策。　　交终二十七万二千一百二十二分二十四秒。　　朔交差二万三千一百八十三分六十九秒。　　气盈二千一百八十四分三十七秒五十微。　　朔虚四千六百九十四分零七秒。　　没限七千八百一十五分六十二秒五十微。　　盈策九万六千六百九十五分二十八秒。　　虚策二万九千一百零四分二十二秒。　　土王策三万零四百三十六分八十七秒五十微。　　宿策一万五千三百零五分九十三秒。　　纪法六十万。即旬周六十日。　　推天正冬至置距洪武甲子积年减一，以岁周乘之为中积，加气应为通积，满纪法去之，至不满之数，为天正冬至。以万为日，命甲子算外，为冬至日辰。累加通余，即得次年天正冬至。　　推天正闰余置中积，加闰应，满朔策去之，至不满之数，为天正闰余。累加通闰，即得次年天正闰余。　　推天正经朔置冬至，减闰余，遇不及减，加纪法减之，为天正经朔。无闰加五十四万三六七一一六。十二朔策纪法。有闰，加二十三万八九七七零九。十三朔实去纪法。满纪法仍去之，即得次年天正经朔视天正闰余在闰限已上，其年有闰月。　　推天正盈缩置半岁周，内减其年闰余全分，余为所求天正缩历。如径求次年者，于天正缩历内减通闰，即得。减后，视在一百五十三日零九已下者，复加朔实，为次年天正缩历。　　推天正迟疾置中积，加转应，减去其年闰余全分，余满转终去之，即天正入转。视在转中已下为疾历，已上去之为迟历。如径求次年者，加二十三万七一一九一六，十二转差之积。经闰再加转差，皆满转终去之，迟疾各仍其旧。若满转中去之，为迟疾相代。　　推天正入交置中积，减闰余，加交应，满交终去之，即天正入交凡日。如径求次年者，加六千零八十二分零四秒，十二交差内去交终。经闰加二万九千二百六十五分七十三秒，十三交差内去交终。皆满交终仍去之，即得。　　推各月经朔及弦望置天正经朔策，满纪法去之，即得正月经朔。以弦策累加之，去纪法，即得弦望及次朔。　　推各恒气置天正冬至，加三气策，满纪法去之，即得立春恒日。以气策累加之，去纪法，即得二十四气恒日。　　推闰在何月置朔策，以有闰之年之闰余减之，余为实，以月闰为法而一，得数命起天正次月算外，即得所闰之月。闰有进退，仍以定朔无中气为定。如减余不及月闰，或仅及一月闰者，为闰在年前。　　推各月盈缩历置天正缩历，加二朔策，去半岁周，即得正月经朔下盈历。累加弦策，各得弦望及次朔，如满半岁周去之交缩，满半周又去之即复交盈。　　推初末限视盈历在盈初缩末限已下，缩历在缩初盈末限已下，各为初。已上用减半岁周为末。　　推盈缩差置初末历小余，以立成内所有盈缩加之乘之为实，日周一万为法除之，得娄数以加其下盈缩积，即盈缩差。　　推各月迟疾历置天正经朔迟疾历，加二转差，得正月经朔下迟疾历。累加弦策，得弦望及次朔，皆满转中去之，为迟疾相代。　　推迟疾限各置迟次历，以日转限乘之，即得限数。以弦转限累加之，满转中限去之，即各弦望及次朔限。如径求次月，以朔转限加之，亦满转中去之，即得。又法：视立成中日率，有与迟疾历较小布相近者以减之，余在八百二十已下，即所用限。　　求迟疾差置迟疾历，以立成日率减之，如不及减，则退一位。余以其下损益分乘之为实，八百二十分为法除之，得数以加其下迟疾积，即迟疾差。　　推加减差视经朔弦望下所得盈缩差、迟疾差，以盈遇迟、缩遇疾为同相并，盈遇疾、缩遇迟为异相较，各以八百二十分乘之为实，再以迟疾限行度内减去八百于二十分，为定限度为法，法除实为加减差。盈迟为加，缩疾为减，异名相较者，盈多疾为加，疾多于盈为减，缩多於迟减，迟多於缩加。　　推定朔望各置经朔弦望，以加减差加减之，即为定日。视定朔干名，与后朔同者月大，不同者月小，内无中气者为闰月。其弦望在立成相同日日出分已下者，则退一日命之。　　推各月入交置天正经朔入交凡日加二交差，得正月经朔下入交凡日。累加交望，满交终去之，即得各月下入交凡日。径求次月，加交差即得。　　推土王用事置谷雨、大暑、霜降、大寒恒气日，减土王策，如不及减，加纪法减之，即各得土王用事日。　　推发敛加时各置所推定朔弦望及恒气之小余，以十二乘之，满万为时，命起子正。满五千，又进一时，命起子初。算外得时不满者，以一千二百除之为刻，命起初刻。初正时之刻，皆以初一二三四为好，于算外命之。其第四刻为畸零，得刻法三之一，凡三时成一刻，以足十二时百刻之数。　　按古因及《授时》，皆以发敛为一章。发敛去者，日道发南敛北之细数也，而加时附焉，则又所以纪发敛之辰刻，故曰发敛加时也。《大统》取其便算，故合发敛与气朔共为一章，或以乘除疏发敛，非其质矣。　　推盈日视恒气小余，在没限已上，为有盈之气。置策余一万零一四五六二五，以十五日除气策。以有盈之气小余减之，余以六十八分六六以气盈除十五日。乘之，得数以加恒气大余，满纪法去之，命甲子算外，得盈日。求盈日及分秒，以盈策加之，又去纪法，即得。　　推虚日视经朔小余在朔虚已下，为有虚之朔。置有虚之朔小余，以六十三分九一以朔虚除三十日。乘之，得数以加经朔大余，满纪法去之，命甲子算外为虚日。求次虚。置日及分秒，以虚策加之，又去纪法，即得。　　推直宿置通积，以气应加中积。减闰应，以宿会二十八万累去之，馀命起翼宿算外，得天正经朔直宿。置天正经宿直宿，加两宿策，为正月经朔直宿。以宿策累加，得各月经朔直宿。再以各月朔下加减差加减之，为定朔直宿。　　▲步日躔　　周天三百六十五度二十五分七十五秒，半之为半周天，又半之为象限。　　岁差一分五十秒。　　周应三百一十五度一十分七十五秒。　　按此系至元辛巳之周应，乃自虚七度至箕十之度数也。洪武甲子相距一百四年，岁差已退天五十四分五十秒，而周应仍用旧数，殆传习之误耳。　　推天正冬至日躔赤道宿次置中积，加周应，应减距历元甲子以来岁差。满周天去之，不尽，起虚七度，依各宿次去之，即冬至加时赤道日度。如求次年，累减岁差，即得。　　表格略　　推天正冬至日躔黄道宿次置冬至加时赤道日度，以至后赤道积度减之，余以黄道率乘之。如赤道率而一，得数以加黄道积度，即冬至加时黄道日度。黄赤道积度及度率，俱见《法原》。　　表格略　　推定象限度以冬至加时赤道日度，与冬至加时黄道日度相减，为黄赤道差。以本年黄赤道差，与次年黄赤道相减，余以四而一，加入气象限内，为定象限度。　　推四正定气日置所推冬至分，即为冬正定气，加盈初缩末限，满纪法去之，余为人正定气。加缩初盈末限，去纪法，余为秋正定气。加缩初盈末限，去纪法，余为次年冬正定气。　　推四正相距日以前正定气大余，减次正定气大余，加六十日，得相距日。如次正气不及减者，加六十日减之，再加六十日，为相距日。　　推四正加时黄道积度置冬至加时黄道日度，累加定象限，各得四正加时黄道积度。　　推四正加时减分置四正定气小余，以其初日行度乘之，如日周而一，为各正加时减分。　　冬正行一度零五一零八五。春正距夏正九十三日者，行零度九九九七零三，距九十四日者行一度。夏正行零度九五一五一六。秋正距冬正八十八日者，行一度零零零五零五，距八十九日者行一度。　　推四正夜半积度置四正加时黄道积芭，减去其加时减分，即得。　　推四正夜半黄道宿次置四正夜半黄道积度，满黄道宿度去之，即得。　　推四正夜半相距度置次正夜半黄道积度，以前正夜半黄道积度减之，余为两正相距度，遇不及减者，加周天减之。　　推四正行度加减日差双相距度与相距日下行积度相减，余如相距日而一，为日差。从相距度人减去行积度者为加，从积度内减去相距度者为减。　　秋正距冬至，冬至距春正八十八日，行积度九十度四零零九，八十九日行积度九十一度四零一四。春正距夏至，夏至距秋秋正九十三日，行积度九十度五九九零，九十四日行积十五九八七。　　推每日夜度置四正后每日行度，在立成。以日差加减之，为每日行定度。置四正夜半日度，以行定度每日加之，满黄道宿度去之，即每日夜半日度。　　黄道十二次宿度　　危十二度六四九一，入娵訾，辰在亥。　　奎一度七三六二，入降娄，辰在戍。　　奎度四五六，入大梁，辰在酉。　　胃三七度七四五六，入大梁，辰在酉。　　毕六度八八零五，入实沈，辰在申。　　井八度三四九四，入鹑首，辰在未。　　柳三度八六八零，入鹑火，辰在午。　　张十五度二六零六，入鹑尾，辰在巳。　　轸十度零七九七，入寿星，辰在辰。　　氐一度一四五二，入大火，辰在卯。　　尾三度一一五，入析木，辰在寅。　　斗三度七六八五，入星纪，辰在丑。　　女二度零六三八，入玄枵，辰在子。　　推日躔黄道入十二次时刻置入次宿度，以入次日夜，以入次日夜半日度减之，余以日周乘之，一分作百分。为实。以入次日夜半日度，与明日夜半日度相减，余为法。实如法而一，各数，以发敛加时求之，即入次时刻。　　▲步月离　　月平行度一十三度三十六分八十七秒半。　　周限三百三十六、半之为中限，又半之为初限。　　限平行度零九分六十二秒。　　太阳限行八分二十秒。　　上弦九十一度三十一发四十三秒太。　　望一百八十二度六十二分八十七秒半。　　下弦二百七十三度九十四分三十一秒少。　　交终度三百六十三度七十九分三十四秒一九六。　　朔平行度三百九十四度七八七一一五一六八七五。　　推朔后平交日置交终分，风气朔历。减天正经朔交凡分，为朔后平交日。如推次月，累减交差二日三一八六九，得次月朔平交日。不及减交差者，加交终减之，其交又在本月，为重交月朔后平交日。每岁必有重交之月。　　推平交入转迟疾历置经朔迟疾历，加入朔后平交日为平交入转。在转中已下，其迟疾与经朔同，已上减去转中疾交迟，迟交疾。如推次月，累减交转差三千四百二十三分七六，交差内减转差数。即得。如不及减，加转中减之，亦迟疾相代。　　推平交入限迟疾差置平交入转迟疾历，依步气朔内，推迟疾差，那得。　　推平交加减定差置平交入限迟疾差，双日率八百二十分乘之，以所入迟疾限下行度而一，即得。在迟为加，在疾为减。　　推经朔加时积置经朔盈缩历，见步气朔内。在盈历即为加时中积，在缩历加半岁周。如推次月，累加朔策，满岁周去之，即各朔加时中积，命日为度。若月内有二交，后交即注前交经朔加时中积。　　推正交距冬至加时黄道积度及宿次置朔后平交日，以月平行乘之为距后度，加以经朔加时中积，为各月正交距冬至加时黄道积度。加冬至加时黄道日度，见日躔。以黄道积度钤减之，至不满宿次，即正交月离。如推次月，累减月平交朔差一度四六三一零二。以交终度减天周，其数宜为一度四六四零八零。遇重交月，同次朔。后仿此。　　▲黄道积度钤　　表格略　　推正交日辰时刻置朔后症交日，加经朔，去纪法，以平交定差加减之，其日命甲子算外，小余依发敛加时求之，即得正交日辰时刻。如推次月，累加交终，满纪去之。如遇重交，再加交终。　　推四正赤道宿次置冬至赤道日度，以气象限累加之，满赤道积度去之，为四正加时赤道日度。　　▲赤道积度钤　　表格略　　推正交黄道在二至后初末限置正交距冬至加时黄道积度，在半岁周已下为冬至后，已上减去半岁周，余为夏至后。又视二至后度分，在气象限已下为初限，已上用减半岁周，余为末限。推次月者，若本月初限，则累减月平交朔差，余为次月初限。不及减者，反减月平交朔差，余为次月末限。若本月末限则累加月平交朔差，为次月天限，至满气象限，以减半岁周，余为次月初限。　　推定差度置初末限，以象极总差一分六零五五零八乘之，即为定差度。象极总差，是以象限除极差，其数宜为一十六分零五四四二。如推次月初限则累减，末限则累加，俱以极平差二十三分四九零二加减之。极平差，是以月平交朔差，乘象极总差，其数宜为二十三分五零四九。　　推距差度置极差十四度六六，减去定差度，即得。求次月，以极平差加减之。初限加，末限减。　　推定限度置定差度，以定极总差一分六三七一零七乘之，定极总差，是以极差除二十四度，其数宜为一度六三七一零七。所得视正交在冬至后为减，夏至后为加，皆置九十八度加减之，即得。　　推月道与赤道正交宿度正交在冬至后，置春正赤道积度，以距差度初限加末限减之，在夏至后，置秋正赤道积度，以距差初限减末限加之。得数，满赤道积度钤去之，即得。　　推月道与赤道正交后积度并入初末限视月道与赤道正交所入某宿次，即置本宿赤道全度，减去月道与赤道正交宿度，差为正后积度。以赤道各宿全度累中之，满气象限去之，为半交后。又满去之，为中交后。再满去之，为半交后。视各交积度，在半象限以焉为初限，以上覆减象限，余为末限。　　推定差置每交定限度，与初末限相乘，得数，千约之为度，即得。正交、中交后为加，半交后为减。　　推月道定积度及宿次置月道与赤道各交后每宿积度，以定差加减之，为各交月道积度。加月道与赤道正交定宿度，共为正交后宿度。以前宿定积度减之，即得各交月道宿次。　　▲活象限例　　置正交后宿次，加前交后半交末宿定积度。为活象限。如正交后宿次度少，加前交不及数，却置正交后宿次加气象限即是。如遇换交之月，置正交后宿次，以前交前半交末宿定积度加之，为换交活象限。假如前交正交是轸，后交正交是角，其前交欠一轸。求活象限者，置正交后宿次，不从翼下取定积度加之，仍于轸下取定积度也。又如前交、正交是轸，后交、正交是翼，其前交多一翼。求活象限者，置正交后宿次，不从翼下取定积度加之，仍于张下取定积度也。　　推相距日置定上弦大余，减去定朔大余，即得。上弦至望，望至下弦，下弦至朔仿此。不及减者，加纪法减之。　　推定朔弦望入盈历及盈缩定差置各月朔弦望入盈缩历，以朔弦望加减差加减之，并在步气朔内。为定盈缩历。视盈历在盈初限下为盈初已上用减半岁周，余为盈末限。缩历在缩初限已下为缩初限，已上用减半岁周，余为缩末限。依步气朔内求盈缩差，为盈缩定差。　　推定朔弦望加时中积置定盈缩历，如是盈历在朔，便为加时中积，在上弦加气象限，在望加半岁周，在下弦加三象限。如是缩历在朔，加半岁周。在上弦加三象限，在望便为加时中积，在下弦加气象限，加后满周天去之。　　推黄朔弦望加时中定积度置定朔弦望加时中积，以其下盈缩定差盈加缩之，即得。　　推赤道加时积度及宿次置黄道加时定积度，在周天象限已下为至后，已上去之为分后，满两象限去之为至后，满三象限去之为分后。置分至后黄道积度，以立成内分至后积度减之，余以其下赤道度率乘之，如黄道度率而一，得数加入分至后积度，次以所去象限合之，为赤道加时定积度。置赤度加时定积度，加入天正冬至加时赤道日度，满赤道积度钤去之，得定朔弦望赤道加时宿次。　　推正半合交后积度置定朔弦望加时赤道宿次，视朔弦望在何交后，正半、中半。即以交生积度，在朔望加时赤道宿前一宿者加之，即为正半中交后积度，满气象限去之，为正半中换交。　　推初末限视正半中交后积度，在半象已下为初限，已上覆减气象限，余为末限。　　推月道与赤道定差置其交定限度，与初末限相减相乘，所得，千约之为度，即定差。在正交、中交为加。在半交为减。　　推定朔弦望加时月道宿次置定朔弦望加时月道定积度，取交后月道定积度，取交后月道定积度，在所置罕前一宿者减之，即得。遇转交则前积度多，所置积度少为不及减。从半转正，加其交活象限减之。从正转半，从半转中，从中转半，皆加气象限减之。　　推夜半入转日置经朔弦望迟疾历，以定朔弦望加减差加减之。大疾历，便为定朔弦望加时入转日。在迟历，用加转中置定朔弦望加时入转日，以定朔弦望小余减之，为夜半入转日，遇入转日少不及减者，加转终减之。　　推加时入转度置定朔弦望小余，去秒，取夜半入转日下转定度乘之，万约之为分，即得。　　▲迟疾转定度钤　　表格略　　推定朔弦望夜半入转积度及宿次置定朔弦望加时月道定积度，减去加时入转度，为夜半积度。如朔弦望加时定积度初换交，则不及减，半正相接，用活象限，正半、中半相接，用气象限加之，然后减加时入转度，则正者为后年，后年为中，中为前半，前半为正。置朔弦望夜半月道定积度，依推定朔弦望加时月道宿次法减之，为夜半宿次。　　推晨昏入转日及转度置夜半入转日，以定盈缩历检立成日下晨分加之，为晨入转日满转终去之。置其日晨分，取夜半入转日下转定度乘之，万约为分，为晨转度。如求昏转日转度，依法检日下昏分，即得。　　推晨昏转积度及宿次置朔弦望夜半月道定积度，加晨转度，为晨转积度。如求昏转积度，则加昏转度，满气象限去之，则换交。若推夜半积度之时，因朔弦望加时定积不及减转度，以半正相接，而加活象限之者，今复换正交，则以活象限减之。置晨转积度，依前法减之，为晨分宿次。置昏转积度，依法减之，为昏分宿次。　　推相距度朔与上弦相距，上弦与望相距，用昏转积度。望与下弦相距，下弦与朔相距，用晨转积度。置后段晨昏转积度，视与前段同交者，竟以前段晨昏转积度减之，余为相距度。若后段与前段接两交者，从正入半，从半入中，从中入半，加气象限。从半入正，加活象限。然后以前段晨昏转积度减之。若后段与前段接三交者，其内无从半入正，则加二气象限，其内有从半入正，则加一活象限，一气象限，以前段晨昏转积度减之。　　推转定积度置晨昏入转日，朔至弦，弦至望，用昏。望至弦，弦至朔，用晨。以前段减后段，不及减者，加二十八日减之，为晨昏相距日。从前段下，于钤内验晨昏相距日同者，取其转定积度。若朔弦望相距日少晨昏相距日一日者，则于晨昏相距日同者，取其转积度，减去转定极差一十四度七一五四，余为前段至后段转定积度。　　▲转定积度钤　　以下表格略　　推加减差以相距度与转定积度相减为实，以其朔弦望相距目为法除之，所得视相距度多为加差，少为减差。　　推每日太阴行定度置朔弦望晨昏入转日，视迟疾转定度钤日下转定度，累日以加减差加减之，至所距日而止，即得。　　推每日月离晨昏宿次置朔弦望晨昏宿次，以每日太阴行度加之，满月道宿次减之，即得。　　▲赤道十二宫界宿次　　表格略　　推月与赤道正交后宫界积度视月道与赤道正交后，各宿积度宫界，某宿次在后，即以加之，便为某宫正交后宫界积度。求次宫者，累加宫率二十度四三八一，满气象限去之，各得某宫下半产交后宫界积度。　　推宫界定积度视宫界度在半象限已下为初限，已上覆减气象限，余为末限。置某交定限度，与初末限相减、相乘，所得，千约之为度，在正交、中交为加差，在半交为减差。置宫界正半中交后积度，以定差加减之，为宫界定积度。　　推宫界宿次置宫界定积度，于月道内取其在所置前一宿者减之之不及减者，加气象限减之。　　推每月每日下交宫时刻置每月宫界宿次，减入交宫日下月离晨昏宿次。如不及减者，加宫界宿次前宿减之，余以日周乘之，以其日太阴行定度而一，得数，又视定盈缩历取立成日下晨昏分加之。晨加晨分，昏加昏分。　　如满日周交宫在次日，不满在本日，依发敛推之，即交宫时刻。　　▲步中星　　推每日夜半赤道置推到每日夜半黄道，见日躔。依法以黄道积度减之，余如黄道率而一，以加赤道积度。又以天正科至赤道加之，如在春正后，再加一象限，夏至后加半周天，秋正后加三象限，为每日夜半赤道积度。　　推夜半赤道宿度置夜半赤道度，以赤道宿度挨次减之，为本日夜半赤道宿度。　　推晨距度及更差度置立成内每日晨分，以三百六十六度二十五分七十五秒乘之为实，如日周而一，为晨距度。倍晨距度，以五除之，为更差度。　　推每日夜半中星置推到每日夜半赤道宿度，加半周天，即夜半中唾积度。以赤道度挨次减之，为夜半中星宿度。　　推昏旦中星置夜半中星积度，减晨距度，为昏中星积度。以更差度累加之，为遂更及旦中星积度。俱满赤道宿度去之，即得。以晨分五之一，加们为更率。更率五而一为点率。凡昏分，即一更一点，累加更率为各更。凡交更即为一点，累加点率为各点。

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志第十三　历七-明史

志第十三 历七 ▲回回历法一 《回回历法》，西域默狄纳国王马哈麻所作。其地北极高二十四度半，经度偏西一百零七度，约在云南之西八千馀昊。其历元用隋开皇己未，即其建国之年

志第六 历三 ○授时历经上 步气朔第一 至元十八年岁次辛巳为元。上考往古，下验将来，皆距立元为算。周岁消长，百年各一，其诸应等数，随时推测，不用为元。 日周，一万。 岁实,

志第七　历四-元史

志第七 历四 ○授时历经下 步中星第五 大都北极，出地四十度太强。 冬至，去极一百一十五度二十一分七十三秒。 夏至，去极六十七度四十一分一十三秒。 冬至昼，夏至夜，三千八百

志第六　历三

　　○授时历经上　　步气朔第一　　至元十八年岁次辛巳为元。上考往古，下验将来，皆距立元为算。周岁消长，百年各一，其诸应等数，随时推测，不用为元。　　日周，一万。　　岁实，三百六十五万二千四百二十五分。　　通余，五万二千四百二十五分。　　朔实，二十九万五千三百五分九十三秒。　　通闰，十万八千七百五十三分八十四秒。　　岁周，三百六十五日二千四百二十五分。　　朔策，二十九日五千三百五分九十三秒。　　气策，十五日二千一百八十四分三十七秒半。　　望策，十四日七千六百五十二分九十六秒半。　　弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。　　气应，五十五万六百分。　　闰应，二十万一千八百五十分。　　没限，七千八百一十五分六十二秒半。　　气盈，二千一百八十四分三十七秒半。　　朔虚，四千六百九十四分七秒。　　旬周，六十万。　　纪法，六十。　　推天正冬至　　置所求距算，以岁实上推往古，每百年长一；下算将来，每百年消一。乘之，为中积。加气应，为通积。满旬周，去之；不尽，以日周约之为日，不满为分。其日命甲子算外，即所求天正冬至日辰及分。如上考者，以气应减中积，满旬周，去之；不尽，以减旬周。余同上。　　求次气　　置天正冬至日分，以气策累加之，其日满纪法，去之，外命如前，各得次气日辰及分秒。　　推天正经朔　　置中积，加闰应，为闰积。满朔实，去之不尽，为闰余，以减通积，为朔积。满旬周，去之；不尽，以日周约之，为日，不满为分，即所求天正经朔日及分秒。上考者，以闰应减中积，满朔实，去之不尽，以减朔实，为闰余。以日周约之为日，不满为分，以减冬至日及分，不及减者，加纪法减之，命如上。　　求弦望及次朔　　置天正经朔日及分秒，以弦策累加之，其日满纪法，去之，各得弦望及次朔日及分秒。　　推没日　　置有没之气分秒，如没限已上为有没之气。以十五乘之，用减气策，余满气盈而一，为日，并恆气日，命为没日。　　推灭日　　置有灭之朔分秒，在朔虚分已下为有灭之朔。以三十乘之，满朔虚而一，为日，并经朔日，命为灭日。　　步发敛第二　　土王策，三日四百三十六分八十七秒半。　　月闰，九千六十二分八十二秒。　　辰法，一万。　　半辰法，五千。　　刻法，一千二百。　　推五行用事　　各以四立之节，为春木、夏火、秋金、冬水首用事日。以土王策减四季中气，各得其季土始用事日。　　气候　　正月　　立春，正月节东风解冻蛰虫始振鱼陟负冰　　雨水，正月中獭祭鱼候雁北草木萌动　　二月　　惊蛰，二月节桃始华仓鹒鸣鹰化为鸠　　春分，二月中玄鸟至雷乃发声始电　　三月　　清明，三月节桐始华田鼠化为釐虹始见　　谷雨，三月中萍始生鸣鸠拂其羽戴胜降于桑　　四月　　立夏，四月节蝼蝈鸣蚯蚓出王瓜生　　小满，四月中苦莱秀靡草死麦秋至　　五月　　芒种，五月节螳螂生鵙始鸣反舌无声　　夏至，五月中鹿角解蜩始鸣半夏生　　六月　　小暑，六月节温风至蟋蟀居壁鹰始挚　　大暑，六月中腐草为萤土润溽暑大雨时行　　七月　　立秋，七月节凉风至白露降寒蝉鸣　　处暑，七月中鹰乃祭鸟天地始肃禾乃登　　八月　　白露，八月节鸿雁来玄鸟归群鸟养羞　　秋分，八月中雷始收声蛰虫坏户水始涸　　九月　　寒露，九月节鸿雁来宾雀入大水为蛤菊有黄华　　霜降，九月中豺乃祭兽草木黄落蛰虫咸俯　　十月　　立冬，十月节水始冰地始冻雉入大水为蜃　　小雪，十月中虹藏不见天气上升，地气下降闭塞而成冬　　十一月　　大雪，十一月节鹖鴠不鸣虎始交荔挺出　　冬至，十一月中蚯蚓结麋角解水泉动　　十二月　　小寒，十二月节雁北乡鹊始巢雉雊　　大寒，十二月中鸡乳征鸟厉疾水泽腹坚　　推中气去经朔　　置天正闰余，以日周约之，为日，命之，得冬至去经朔。以月闰累加之，各得中气去经朔日算。满朔策，去之，乃全置闰，然俟定朔无中气者裁之。　　推发敛加时　　置所求分秒，以十二乘之，满辰法而一，为辰数；余以刻法收之，为刻；命子正算外，即所在辰刻。如满半辰法，通作一辰，命起子初。　　步日躔第三　　周天分，三百六十五万二千五百七十五分。　　周天，三百六十五度二十五分七十五秒。　　半周天，一百八十二度六十二分八十七秒半。　　象限，九十一度三十一分四十三秒太。　　岁差，一分五十秒。　　周应，三百一十五万一千七十五分。　　半岁周，一百八十二日六千二百一十二分半。　　盈初缩末限，八十八日九千九十二分少。　　缩初盈末限，九十三日七千一百二十分少。　　推天正经朔弦望入盈缩历　　置半岁周，以闰余日及分减之，即得天正经朔入缩历。冬至后盈，夏至后缩。　　以弦策累加之，各得弦望及次朔入盈缩历日及分秒。满半岁周去之，即交盈缩。　　求盈缩差　　视入历盈者，在盈初缩末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限；缩者，在缩初盈末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限。其盈初缩末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二万四千六百，又以初末限乘之，用减定差五百一十三万三千二百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒。缩初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二万二千一百，又以初末限乘之，用减定差四百八十七万六百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即所求盈缩差。　　又术：置入限分，以其日盈缩分乘之，万约为分，以加其下盈缩积，万约为度，不满为分秒，亦得所求盈缩差。　　赤道宿度　　角十二一十亢九二十氐十六三十房五六十　　心六五十尾十九一十箕十四十　　右东方七宿，七十九度二十分。　　斗二十五二十牛七二十女十一三十五虚八九十五太　　危十五四十室十七一十壁八六十　　右北方七宿，九十三度八十分太。　　奎十六六十娄十一八十胃十五六十昴十一三十　　毕十七四十觜初五参十一一十　　右西方七宿，八十三度八十五分。　　井三十三三十鬼二二十柳十三三十星六三十　　张十七二十五翼十八七十五轸十七三十　　右南方七宿，一百八度四十分。　　右赤道宿次，并依新制浑仪测定，用为常数，校天为密。若考往古，即用当时宿度为准。　　推冬至赤道日度　　置中积，以加周应为通积，满周天分，上推往古，每百年消一；下算将来，每百年长一。去之，不尽，以日周约之为度，不满，退约为分秒。命起赤道虚宿六度外，去之，至不满宿，即所求天正冬至加时日躔赤道宿度及分秒。上考者，以周应减中积，满周天，去之；不尽，以减周天，余以日周约之为度；余同上。如当时有宿度者，止依当时宿度命之。　　求四正赤道日度　　置天正冬至加时赤道日度，累加象限，满赤道宿次，去之，各得春夏秋正日所在宿度及分秒。　　求四正赤道宿积度　　置四正赤道宿全度，以四正赤道日度及分减之，余为距后度；以赤道宿度累加之，各得四正后赤道宿积度及分。　　黄赤道率　　表略　　推黄道宿度　　置四正后赤道宿积度，以其赤道积度减之，余以黄道率乘之，如赤道率而一；所得，以加黄道积度，为二十八宿黄道积度；以前宿黄道积度减之，为其宿黄道度及分。其秒就近为分。　　黄道宿度　　角十二八十七亢九五十六氐十六四十房五四十八　　心六二十七尾十七九十五箕九五十九　　右东方七宿，七十八度一十二分。　　斗二十三四十七牛六九十女十一十二虚九分空太　　危十五九十五室十八三十二壁九三十四　　右北方七宿，九十四度一十分太。　　奎十七八十七娄十二三十六胃十五八十一昴十一０八　　毕十六五十觜初０五参十二十八　　右西方七宿，八十三度九十五分。　　井三十一０三鬼二一十一柳十三星六三十一　　张十七七十九翼二十０九轸十八七十五　　右南方七宿，一百九度八分。　　右黄道宿度，依今历所测赤道准冬至岁差所在算定，以凭推步。若上下考验，据岁差每移一度，依术推变，各得当时宿度。　　推冬至加时黄道日度　　置天正冬至加时赤道日度，以其赤道积度减之，余以黄道率乘之，如赤道率而一；所得，以加黄道积度，即所求年天正冬至加时黄道日度及分秒。　　求四正加时黄道日度　　置所求年冬至日躔黄赤道差，与次年黄赤道差相减，余四而一，所得，加象限，为四正定象度。置冬至加时黄道日度，以四正定象度累加之，满黄道宿次，去之，各得四正定气加时黄道度及分。　　求四正晨前夜半日度　　置四正恆气日及分秒，冬夏二至，盈缩之端，以恆为定。以盈缩差命为日分，盈减缩加之，即为四正定气日及分。置日下分，以其日行度乘之，如日周而一；所得，以减四正加时黄道日度，各得四正定气晨前夜半日度及分秒。　　求四正后每日晨前夜半黄道日度　　以四正定气日距后正定气日为相距日，以四正定气晨前夜半日度距后正定气晨前夜半日度为相距度，累计相距日之行定度，与相距度相减；余如相距日而一，为日差；相距度多为加，相距度少为减。以加减四正每日行度率，为每日行定度；累加四正晨前夜半黄道日度，满宿次，去之，为每日晨前夜半黄道日度及分秒。　　求每日午中黄道日度　　置其日行定度，半之，以加其日晨前夜半黄道日度，得午中黄道日度及分秒。　　求每日午中黄道积度　　以二至加时黄道日度距所求日午中黄道日度，为二至后黄道积度及分秒。　　求每日午中赤道日度　　置所求日午中黄道积度，满象限，去之，余为分后；内减黄道积度，以赤道率乘之，如黄道率而一；所得，以加赤道积度及所去象限，为所求赤道积度及分秒；以二至赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度及分秒。　　黄道十二次宿度　　危，十二度六十四分九十一秒。入娵訾之次，辰在亥。　　奎，一度七十三分六十三秒。入降娄之次，辰在戌。　　胃，三度七十四分五十六秒。入大梁之次，辰在酉。　　毕，六度八十八分五秒。入实沈之次，辰在申。　　井，八度三十四分九十四秒。入鹑首之次，辰在未。　　柳，三度八十六分八十秒。入鹑火之次，辰在午。　　张，十五度二十六分六秒。入鹑尾之次，辰在巳。　　轸，十度七分九十七秒。入寿星之次，辰在辰。　　氐，一度一十四分五十二秒。入大火之次，辰在卯。　　尾，三度一分一十五秒。入析木之次，辰在寅。　　斗，三度七十六分八十五秒。入星纪之次，辰在丑。　　女，二度六分三十八秒。入玄枵之次，辰在子。　　求入十二次时刻　　各置入次宿度及分秒，以其日晨前夜半日度减之，余以日周乘之，为实；以其日行定度为法；实如法而一，所得，依发敛加时求之，即入次时刻。　　步月离第四　　转终分，二十七万五千五百四十六分。　　转终，二十七日五千五百四十六分。　　转中，十三日七千七百七十三分。　　初限，八十四。　　中限，一百六十八。　　周限，三百三十六。　　月平行，十三度三十六分八十七秒半。　　转差，一日九千七百五十九分九十三秒。　　弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。　　上弦，九十一度三十一分四十三秒太。　　望，一百八十二度六十二分八十七秒半。　　下弦，二百七十三度九十四分三十一秒少。　　转应，一十三万一千九百四分。　　推天正经朔入转　　置中积，加转应，减闰余，满转终分，去之，不尽，以日周约之为日，不满为分，即天正经朔入转日及分。上考者，中积内加所求闰余，减转应，满转终，去之，不尽，以减转终，余同上。　　求弦望及次朔入转　　置天正经朔入转日及分，以弦策累加之，满转终，去之，即弦望及次朔入转日及分秒。如径求次朔，以转差加之。　　求经朔弦望入迟疾历　　各视入转日及分秒，在转中已下，为疾历；已上，减去转中，为迟历。　　迟疾转定及积度　　表略　　求迟疾差　　置迟疾历日及分，以十二限二十分乘之，在初限已下为初限，已上覆减中限，余为末限。置立差三百二十五，以初末限乘之，加平差二万八千一百，又以初末限乘之，用减定差一千一百一十一万，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即迟疾差。　　又术：置迟疾历日及分，以迟疾历日率减之，余以其下损益分乘之，如八百二十而一，益加损减其下迟疾度，亦为所求迟疾差。　　求朔弦望定日　　以经朔弦望盈缩差与迟疾差，同名相从，异名相消，盈迟缩疾为同名，盈疾缩迟为异名。以八百二十乘之，以所入迟疾限下行度除之，即为加减差，盈迟为加，缩疾为减。以加减经朔弦望日及分，即定朔弦望日及分。若定弦望分在日出分已下者，退一日，其日命甲子算外，各得定朔弦望日辰。定朔干名与后朔干同者，其月大；不同者，其月小；内无中气者，为闰月。　　推定朔弦望加时日月宿度　　置经朔弦望入盈缩历日及分，以加减差加减之，为定朔弦望入历，在盈，便为中积，在缩，加半岁周，为中积；命日为度，以盈缩差盈加缩减之，为加时定积度；以冬至加时日躔黄道宿度加而命之，各得定朔弦望加时日度。　　凡合朔加时，日月同度，便为定朔加时月度，其弦望各以弦望度加定积，为定弦望月行定积度，依上加而命之，各得定弦望加时黄道月度。　　推定朔弦望加时赤道月度　　各置定朔弦望加时黄道月行定积度，满象限，去之，以其黄道积度减之，余以赤道率乘之，如黄道率而一，用加其下赤道积度及所去象限，各为赤道加时定积度；以冬至加时赤道日度加而命之，各为定朔弦望加时赤道月度及分秒。象限已下及半周，去之，为至后；满象限及三象，去之，为分后。　　推朔后平交入转迟疾历　　置交终日及分，内减经朔入交日及分，为朔后平交日；以加经朔入转，为朔后平交入转；在转中已下，为疾历；已上，去之，为迟历。　　求正交日辰　　置经朔，加朔后平交日，以迟疾历依前求到迟疾差，迟加疾减之，为正交日及分，其日命甲子算外，即正交日辰。　　推正交加时黄道月度　　置朔后平交日，以月平行度乘之，为距后度；以加经朔中积，为冬至距正交定积度；以冬至日躔黄道宿度加而命之，为正交加时月离黄道宿度及分秒。　　求正交在二至后初末限　　置冬至距正交积度及分，在半岁周已下，为冬至后；已上，去之，为夏至后。其二至后，在象限已下，为初限，已上，减去半岁周，为末限。　　求定差距差定限度　　置初末限度，以十四度六十六分乘之，如象限而一，为定差；反减十四度六十六分，余为距差。以二十四乘定差，如十四度六十六分而一；所得，交在冬至后名减，夏至后名加，皆加减九十八度，为定限度及分秒。　　求四正赤道宿度　　置冬至加时赤道度，命为冬至正度；以象限累加之，各得春分、夏至、秋分正积度；各命赤道宿次去之，为四正赤道宿度及分秒。　　求月离赤道正交宿度　　以距差加减春秋二正赤道宿度，为月离赤道正交宿度及分秒。冬至后，初限加，末限减，视春正；夏至后，初限减，末限加，视秋正。　　求正交后赤道积度入初末限　　各置春秋二正赤道所当宿全度及分，以月离赤道正交宿度及分减之，余为正交后积度；以赤道宿次累加之，满象限去之，为半交后；又去之，为中交后；再去之，为半交后；视各交积度在半象已下，为初限；已上，用减象限，余为末限。　　求月离赤道正交后半交白道旧名九道出入赤道内外度及定差　　置各交定差度及分，以二十五乘之，如六十一而一；所得，视月离黄道正交在冬至后宿度为减，夏至后宿度为加，皆加减二十三度九十分，为月离赤道后半交白道出入赤道内外度及分；以周天六之一，六十度八十七分六十二秒半，除之，为定差。月离赤道正交后为外，中交后为内。　　求月离出入赤道内外白道去极度　　置每日月离赤道交后初末限，用减象限，余为白道积；用其积度减之，余以其差率乘之；所得，百约之，以加其下积差，为每日积差；用减周天六之一，余以定差乘之，为每日月离赤道内外度；内减外加象限，为每日月离白道去极度及分秒。　　求每交月离白道积度及宿次　　置定限度，与初末限相减相乘，退位为分，为定差；正交、中交后为加，半交后为减。以差加减正交后赤道积度，为月离白道定积度；以前宿白道定积度减之，各得月离白道宿次及分。　　推定朔弦望加时月离白道宿度　　各以月离赤道正交宿度距所求定朔弦望加时月离赤道宿度，为正交后积度；满象限，去之，为半交后；又去之，为中交后；再去之，为半交后；视交后积度在半象已下，为初限；已上，用减象限，为末限；以初末限与定限度相减相乘，退位为分，分满百为度，为定差；正交中交后为加，半交后为减。以差加减月离赤道正交后积度，为定积度，以正交宿度加之，以其所当月离白道宿次去之，各得定朔弦望加时月离白道宿度及分秒。　　求定朔弦望加时及夜半晨昏入转　　置经朔弦望入转日及分，以定朔弦望加减差加减之，为定朔弦望加时入转；以定朔弦望日下分减之，为夜半入转；以晨分加之，为晨转；昏分加之，为昏转。　　求夜半月度　　置定朔弦望日下分，以其入转日转定度乘之，万约为加时转度，以减加时定积度，余为夜半定积度；依前加而命之，各得夜半月离宿度及分秒。　　求晨昏月度　　置其日晨昏分，以夜半入转日转定度乘之，万约为晨昏转度；各加夜半定积度，为晨昏定积度；加命如前，各得晨昏月离宿度及分秒。　　求每日晨昏月离白道宿次　　累计相距日数转定度，为转积度；与定朔弦望晨昏宿次前后相距度相减，余以相距日数除之，为日差；距度多为加，距度少为减。以加减每日转定度，为行定度；以累加定朔弦望晨昏月度，加命如前，即每日晨昏月离白道宿次。朔后用晨，望后用昏，朔望晨昏俱用。

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志第八　历五-元史

志第八 历五 ○庚午元历上 演纪上元庚午，距太祖庚辰岁，积年二千二十七万五千二百七十算外，上考往古，每年减一算，下验将来，每年加一算。 步气朔术 日法，五千二百三十。 岁